的相似对 矩阵的特征值与特征向量 相似矩阵: 1.定义1:设A与B都是n阶矩阵,若存在一个n阶可逆阵P,使 B=P-1AP,则称矩阵A与B相似,记作A~B 可逆阵P称为相似变换矩阵。 (1)相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。 (2)A~B→AcB,反之不对。 相似与等价的关系 2相似矩阵的简单性质: (1)A~B→r(A)=r(B) (i)A~B→4= (i)A~B→A与B同时可逆或同时不可逆,且当可逆时A1~B1 (m)A~B→f(4)~f(B),f(x)=amx"+am-1x+…+a1x+a
矩阵的相似对角形 矩阵的特征值与特征向量 1.定义 1： ，则称矩阵 与 相似，记作 与设 都是 阶矩阵，若存在一个 阶可逆阵 ，使 APPB BA nBA n P − 1 = 可逆阵 P称为相似变换矩阵。 A~B (1) 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性 。 (2) A~B ⇒ A ≅B,反之不对。 2.相似矩阵的简单性质： ⇒ = BrArBAi )()(~)( ~)( =⇒ BABAii 11 ~)( ~ ⇒ −− 与BABAiii 同时可逆或同时不可逆，且当可逆时 BA 一、相似矩阵： 1 0 1 1 )(),(~)(~)( xaxaxfBfAfBAiv axa m m m ⇒ m += +++ − − L 相似与等价的关系
A~B→B=P-AP→ B"=(PAP)=PAP,PAP…PAP=PA"P→ f(B)=amB+am-B+.+a,B+aot am(P)"+am-I(P AP)++a(P AP)+aoE -apapta,papttap ep P(amA"+am-1A"++a1 A+aDE)P=P-f(A)P 3相似矩阵的简单应用: 例 40 A= 验证A=P-1AP并求 A= PAP =A=(PAP-Ik_ p k 0 k k k k→水 5.44+(-2 44-(-2 6(5.4k 5·(-2) 44k+5(-2
~ − 1APPBBA ⇒=⇒ BaBaBf EaBa m m m m 1 0 1 1 )( += +++ − − L APPaAPPa EaAPPa m m m m 0 1 1 11 1 1 = + )()( ++ )( + −− − − − L AaAaP PEaAa m m m ( m ) 1 0 1 1 1 = + +++ − − − L )( PAfP− 1 = 3.相似矩阵的简单应用： 例： A P 验证 1 并求AAPP k 。 51 11 , 20 04 , 15 13 − =Λ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =Λ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − 11 15 6 1 1 P ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =Λ k k k )2(0 04 − 1 A = P Λ P A k =⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⋅+−⋅−⋅ −+⋅ −− k kk k kkkk )2(54)2(545 )2(4)2(45 6 1 m m APPB )( − 1 = 1 1 )( − − Λ=Λ=⇒ PPPPAk kk EPPaAPPaPAPaPAPa m m m m 1 0 1 1 11 1 1 −− − − − − = + L++ + P AP P AP P AP − 1 − 1 − 1 = ⋅ L P A P − 1 m = ⇒
(1)A满足什么条件时能与对角阵∧相似? (2)A与对角阵A相似时,可逆阵P及对角阵A怎样求? 二、矩阵的特征值与特征向量: 1定义2:设A是n阶矩阵,4为一个数,若存在非零向量a, 使Aα=λa,则称数λ为矩阵A的特征值,非零向 量α为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。 特征向量为非零向量 2矩阵的特征值与特征向量的求法: 2(是万程(2=0的非解}1-1=0 满足A-2E|=0数4为特征值; 方程组(A-E)X=O的非零解为特征向量或基础解系
问题： )1( A满足什么条件时能与对角阵Λ相似？ )2( A与对角阵Λ相似时，可逆阵P及对角阵Λ怎样求？ 二、矩阵的特征值与特征向量： 1.定义2： 量 为矩阵 的对应于特征值 的特征向量。 使 ，则称数 为矩阵 的特征值，非零向 是设 阶矩阵， 为一个数，若存在非零向量 ， α λ λαα λ λ α A A A nA = 特征向量为非零向量！ 2.矩阵的特征值与特征向量的求法： Aα λα ⇒= − λ )( α = OEA ⇒ α是方程组 − λ )( = OXEA 的非零解 } λEA =−⇒ 0 满足 λEA =−∴ 0的数λ为特征值； 方程组 − λ )( = OXEA 的非零解为特征向量。(或基础解系)
例1:求矩阵的特 1-22 10 征值与特征向量。A=-2-24B=4-30 24-2 解: 1-2 A-AE|=-2-2-44 2 4 2-2 =(1-A)(2+4 16-16+4(2+)-16(1-)+4(2+) =(1-4)(4+4+x)+24-32 =-23-32+242-28 经试根知,2是一个根。故 上式=-(2-2)(2+54-14)=(-2(x+7)(2-2) →41=A2=2,13=-7(这就是特征值。) (下面求特征向量。)
例1：求矩阵的特 征 值与特征向量。 λ λ λ λ −− −−− −− =− 242 422 1 22 EA ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − −− − = 242 422 221 A 解： )2(4)1(16)2(41616)2)(1( 2 λλ λ ++−−++−−+−= λλ 3224)44)(1( 2 λλλλ −+++−= 28243 23 λλλ −+−−= 经试根知，2是一个根。故 )145)(2( 2 上式 λλλ −+−−= = − λ − λ + λ − )2)(7)(2( ⇒ λ = λ = λ321 = −7,2 （这就是特征值。） （下面求特征向量。） ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ −− −− = 201 034 011 B
对A=2=2,(解(A-2E)X=O)一 -1-2-2 A-2E=-2-44→000→x1=-2x2+2x3 000 51=(-2,10),52=(2,0,1) 为属于特征值2的线性无关的特征向量;其全部特征向量为 k1+k2(k12k2不全为零)。 同理可求A3=-7的特征向量为53=(1,2,-2) 其全部特征向量为k23(k≠0) 求特征值与特征向量的步骤: 1解A-E=0求出的值;即得到特征值; 2对每一个,求方程组(A-AEY=O的基础解系;即得到属于这个 特征值的线性无关的特征向量
⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − −− −− =− 442 442 221 2EA 对λ = λ21 = ,2 ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ −− → 000 000 221 22 321 ⇒ = − + xxx T T)1,0,2(,)0,1,2( ξ1 −=∴ ξ 2 = （ 不全为零）。 为属于特征值 的线性无关的特征向量；其全部特征向量为 212211 ,, 2 + ξξ kkkk 7 .)221( 3 3 T 同理可求 λ −= 的特征向量为 ξ ，， −= ).0( 其全部特征向量为 ξ 3 kk ≠ 求特征值与特征向量的步骤： .1 解 λEA =− 0求出λ的值；即得到特征值； 特征值的线性无关的特征向量。 .2 对每一个λ，求方程组 λ )( =− OXEA 的基础解系；即得到属于这个 解 − = OXEA ))2((