矩阵的秩 1阶子式:在A中任取k行k列,位于这些 行、列相交处的k2个元素,按原次序组成的 k阶行列式,称为矩阵A的阶子式一般地: m×n矩阵A的k阶子式有CC个。 2秩的定义:矩阵A的所有不等于零的子式的最高 阶数称为矩阵A的秩记作r(4 显然:r(O)=0;只要A不是零阵,就有r(4)>0.并且: (i r(Amxn)s m, n; (i)若有一个阶子式不为零,则r(A)≥r; 若所有的阶子式全为零,则r(A)<r
矩阵的秩 . 1. 2 阶行列式，称为矩阵 的 阶子式 行、列相交处的 个元素，按原次序组成的 阶子式：在 中任取 行 列，位于这些 k A k k k A k k m×n 一般地： m × n矩阵A的k阶子式有Cmk Cnk个。 2.秩的定义:矩阵 A 的所有不等于零的子式的最高 阶数称为矩阵 A 的秩.记作 r(A) . 显然:r(O)=0;只要A不是零阵,就有 r(A)>0.并且: (i) r(A ) min{m, n}; m×n ≤ ( ) . ( ) ( ) ; r r A r ii r r A r < ≥ 若所有的 阶子式全为零，则 若有一个 阶子式不为零，则
)r(A2)=r(4 例求矩阵的秩a1a12 22 2r 2n 显然r(A)=F.(a41 22 ≠0) 利用初等变换可以求矩阵的秩
(iii ) r ( A ) r ( A). T = 例 :求矩阵A的秩 . ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 0 22 2 2 11 12 1 1 L L L L M M M M M M L L L L L O M L M L L L L rr rn r n r n a a a a a a a a a A 显然 r ( A ) = r. 利用初等变换可以求矩阵的秩. ( 0 ) a11 a 22 L a rr ≠
X秩的求法定理矩阵经初等变换后其秩不变 证:只证行变换的情形 A→B→r(4)=r(B);A→>B→r(4)=r(B) i2 A 吃+ a m2∴…C
秩的求法 定理 :矩阵经初等变换后其秩不变 . 证 :只证行变换的情形 . A B r ( A ) r ( B); ij r → ⇒ = A B r ( A ) r ( B); i kr → ⇒ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = m m mn j j jn i i in n a a a a a a a a a a a a A L M M L M L M M L M L M M L M L 1 2 1 2 1 2 11 12 1 i j r +kr →