n元向量 向量组的秩及极大线性无关组的求法 1利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组 例12为何值时,向量组∝1=(,1,1,12),a2=(2,1,3,2,3), a3=(2,3,2,2,5),a4=(13,-1,1,),线性相关?秩为多少? 并求一个极大线性无关组 1133 解设A=(a,a2,a,a1)=132 235
n元向量 一 . 向量组的秩及极大线性无关组的求法 1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组 例 λ 1 为何值时，向量组α1 = ，α 2 = )3 ,2 ,3 ,1 ,2()2 ,1 ,1 ,1 ,1( ， . ) ,1 ,1 ,3 ,1()5 ,2 ,2 ,3 ,2( 3 4 并求一个极大线性无关组 α = ，α = − λ ，线性相关？秩为多少？ , 532 1221 1231 3311 1221 ( ) 4321 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = = −λ 设解 A ，，， αααα
经若干次初等变换后,有A→行变换→0010 0000 故当=4时,r(012a2,a34)=r(A)=3<4,向量组线性相关, 秩为3,1,a2a3或a1,a3,a为极大线性无关组 注:用初等变换求向量组的极大无关组时,一定要将向量组按列 摆放成矩阵,并做初等行变换,简称作“列摆行变换”;或按行摆 放成矩阵,但要做列变换,即“行摆列变换”若仅仅只是求向量组 的秩,怎样摆放,作怎样的初等变换都无所谓,结果是一样的
经若干次初等变换后，有 . 0000 4000 0100 2110 1221 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ − − →→ λ A 行变换 ,, ,, 3 . 43)(,,, 4 431321 4321 秩为 ， 或 为极大线性无关组 故当 ＝ 时， ，向量组线性相关， αααααα λ r(α ααα = Ar) = < 注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列 摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行摆 放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求向量组 的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一样的
例2设向量组a1=(1,1,3),a2=(-a,-1,2,3,ax3=(1,2a-1,3,7 a4=(-1,-1,a-1,-1)的秩为3,求a 解设A=(ax1,a2a3,O1)= 0a-12a 对A作初等行变换,有A→ 0a+22 a 03a+342 若a=1,则A化为
. 3 )1 1 1 1( 2 )7 3 12 1()3 2 1 ()3 1 1 1( 4 1 2 3 a a a a ，，， 的秩为 ，求 例 设向量组 ，，，， ，，，，，，，， −−−−= = = − − = − α α α α , 1733 1321 11211 111 ),,,( 4321 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −−− − − = = a a a 设解 A αααα . 24330 220 02210 1 11 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + −− − − → a a a aa a 对 A作初等行变换，有A 若 = Aa 1 化为，则
0000 03 A 0321 00 200 0642 00 此时r(4)=2,不合题意,故a≠,于是 a 0120 A→ C,<>C 0a+22a 02a+2 03a+342 043a+32
. 0000 0000 1230 1111 2460 1230 0000 1111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− A → 此时 Ar = 2)( ，不合题意，故 a ≠1 ，于是 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + −− → 24330 220 0210 1 11 a a a a A 32↔cc ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + −− 23340 220 0120 11 1 a aa a
0 00a+1 003a+12 a+1 r(01,a2,a32a4)=3<>r 3a+12 a+1 B3a 2=0 3a+1 但a≠1,因此<>a 3·故当=2 3时,r(a12a2a32a4)=3 2.利用向量组的等价求向量组的秩
. 21300 100 0120 11 1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ ++ −− → a aa a ⇔=⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ++ ⇔= 1 213 1 3,,, 4321 a aa r(α ααα r) ,023 213 1 2 =−−= + + aa a aa .3),,,( 32 . 32 1 但 a ≠ ，因此 a −=⇔ 故当a −= 时，r αααα 4321 = 2.利用向量组的等价求向量组的秩