2相关性的判定定理 定理3:在一个向量组中,若有一个部分向量组线性相关, 则整个向量组也必定线性相关。 推论:一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。 定理4:m个n维向量a;=(an1,a12,…,an)(=1,2;…m)线性 相关的充要条件是由a1(=12,…m构成的矩阵 11a12 aIn A 2 21 22 2n m1 am2 的秩r(4)<m
2.相关性的判定定理 定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关。 推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。 .)( ),2,1( 4 ),2,1(),,,( 21 2221 2 1211 1 2 1 21 mAr aaa aaa aaa A mi nm miaaa mm mn n n m i iniii < ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ =⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = = = = 的秩 相关的充要条件是由 构成的矩阵 定理 个： 维向量 线性 L MLMM L L M L L L α α α α α
例:讨论a1=(1,2,-1),a2=(2,-31)2a3=(442-1)相关性 解: 2 2-310-73 0-73 4 0-73 000 r(4)=2<3→a1,2,x3线性相关 例2:为何值时,向量组a1=(1,4,2),a2=(2,1,32,3), a3=(2,32,2,5),a4=(1,3,-,,)线性相关? 解: 21323|0-110-1 A 2 232250 3 13-11x)(02-202-2
例 1：讨论 α1 α 2 α 3 −=−=−= )1,1,4(),1,3,2(),1,2,1( 的相关性。 解： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 114 132 121 3 2 1 α α α A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → 370 370 121 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → 000 370 121 Ar <=∴ 32)( ⇒ ,, ααα 321 线性相关。 ，，，，（ ）， ，，，，（ ）线性相关？ ：例 为何值时，向量组 ，，，，（ ）， ，，，，（ ）， α α λ λ α α 52232 1131 2 21111 32312 3 4 1 2 = −= = = 解： ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = α λ α α α 1131 52232 32312 21111 4 3 2 1 A → ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − 20220 10010 10110 21111 λ
12 A→0-110-1 0-1 → 01001 00100 02-202-2 00002-4 →=4时,r(A)=3<4,12a2,C324线性相关 证明定理4 →":a1,a2,…,am线性相关, 由定理1知,必有某个向量(不妨设am)可由其余m-1个 向量线性表示为am=k11+…+km=1m=1 写成分量形式为am=k141j+k242j+…+km-1am-1, 对A作初等变换
A → ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − 20220 10010 10110 21111 λ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → 40000 00100 10110 21111 λ λ =⇒ 时， Ar <= ,43)(4 ,,, αααα 4321 线性相关。 证明定理4. ⇒ :"" ,,, , 21 L ααα m线性相关 = − m m m α α 向量线性表示为 由定理 1知，必有某个向量（不妨设 )可由其余 1 个 11 + + mm −− 11 k α L k α 写成分量形式为 mj = + 2211 jj + L + akakaka −− ,11 jmm 对A作初等变换
12 A= 1.2 m-1,n 2 a 12 → →r(4)<m 1,2 0 0 "<":r(A)=r<m,不妨设r>0,且A的最左上角的阶子式D≠0 考虑A的r+1阶子式
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − −− − m m mn m m nm n m m aa a aa a aa a A L L MLMM L M 21 2,11,1 ,1 11 12 1 1 1 α α α ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → −− − 00 0 2,11,1 ,1 11 12 1 L L MLMM L m m nm n aa a aa a ⇒ )( < mAr ⇐ :"" <= ,)( 不妨设rmrAr > ,0 ≠ 0 且A的最左上角的 阶子式Dr r 考虑 A 的 r+1阶子式
(A)=r→D,+1=0 r+1,1 r+1,rr+1 将D按最后一列展开,有: A1+a2142+ D.=0 +ariA +ar+l,yr 按向量形式写,上式为: J=1,2 14+a242+…+aA+ar+1D=0 D,≠0,→a1,a2,…ar+线性相关 从而a12a2…,am线性相关。 推论1:当m>n时,m个n维向量线性相关
r jrrr r jrrr jr r a aa a aa a aa D 1,1 ,1,1 1 , 11 ,11 1 + ++ + = L L MMLM L )( 0 = ⇒ DrAr r+1 = 将D j按最后一列展开，有： + jj 2211 +L+ + + ,1 DaAaAaAa rjrjrj = 0 按向量形式写，上式为： = L,,2,1 nj α +α AA 2211 +L+α +α +1DA rrj = 0 Q Dr ≠ ,0 ⇒ ,,, , α α 21 L α r+1线性相关 从而α α21 L,,, α m线性相关。 推论1：当m>n时，m个n维向量线性相关