矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的求法 利用定义求特征值与特征向量 步骤: (1)由A-EF=0求出A; (2)对2求(4-E)X=0的非零解 例求A=-2-24的特征值与特征向量 24-2
矩阵的特征值与特征向量 一 . 特征值与特征向量的求法 1.利用定义求特征值与特征向量 . 0)( )2( 0|| )1( 求对 的非零解 由 求出 ； 步骤： =− =− XEA EA λλ λ λ . 242 422 221 求例 1 的特征值与特征向量 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − A =
解|A-E|=-2-2-24 4 =(1-)(+2)2-16-16+4(4+2)+4(2+2)+16(-1) -32+24元-28=-(2-)(7+), 故41=几2=2,42=-7为A的特征值 对A=2=2 1-22 A-2E=-2-44000 000 所以(A-2E)X=0的同解方程为x1=-2x2+2x,故
),7()2(28243 )116()24()2(41616)2)((1 242 422 221 || 23 2 2 λλλ λλ λλ λλ λ λ λ λ +−−=−+−−= −+++++−−+−= −− −−− −− 解 λEA =− . 7,2 故 λ = λ21 = λ3 = − 为 A的特征值 , 000 000 221 442 442 221 2 ,2 21 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− −− =− == EA 对 λλ 所以 − XEA = 0)2( 的同解方程为 1 = − + 22 xxx 32 ，故
k1(-2,1,0)+k2(2,0,1)(k,k2不全为零)为A的属于特征值2 的特征向量 同理,4的属于特征值7的特征向量为k(,2,-2)(k≠0) 5-13 例2设A=-15-3r(A)=2,求C及A的特征值 3-3 解因为4|=-15-3=24c-72, 3-3 又r(A)=2,所以A=0,故c=3
. 1 2 21 ) ,()1,0,2()0,1,2( 2 的特征向量 k T +− T kkk 不全为零 为 A的属于特征值 A 7 kk ≠− ).0()2,2,1( 同理， 的属于特征值 的特征向量为 T . 2)(, 33 351 315 设例 2 ，求 及 AcAr 的特征值 c A = ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − −− − = 解 因为 7224 ， 33 351 315 || −= − −− − = c c A 又 Ar = ，所以 = ，故 cA = .3 0|| 2)(
5-13 此时A= 5-3,由A-E=0,得A的特征值 3-33 1=0,2=4,3=9 0100 1000 例3设A= ,若3是A的一个特征值,求:y 00y 00 2 及A的其他特征值
.9,4,0 0|| 333 351 315 1 2 3 === =− ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − −− − = λλλ 此时 A ，由 λEA ，得 A的特征值 . 3 2100 100 0001 0010 3 及 的其他特征值 设例 ，若 是 的一个特征值，求： A A y y A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ =
11 1-0 0 解设|A-E| 00 11 00 12- =(-1)[(y-)(2-x)-1 =(-1)(+1)[x2-(y+2)+2y-1] 因为3是A的一个特征值,所以3必为2-(y+2)+2y-1=0 的根,由此求得y=2及x2-(y+2)2+2y-1=0的另一根1 故A的全部特征值为-1,1,1,3 注:用定义求特征值与特征向量,最重要的是求出特征值.为 此,首先求出矩阵的特征多项式,并将它按降幂排列,然后通过 试根或因式分解将其化为一次式的乘积,从而求出特征值.求特 征向量即求齐次方程组(A-E=0的基础解系
].12)2()[1)(1( ]1)2)()[(1( 2100 00 1 1 00 001 || 2 2 −++−+−= −−−−= − − − − =− yy y y EA λλλ λ λ λλ λ λ λ λ 设解 λ 1,1,1,3. 1 012)2( 2 3 012)2( 3 2 2 − =−++−= =−++− 故 的全部特征值为 的根，由此求得 及 的另一根 ， 因为 是 的一个特征值，所以 必为 A y yy A yy λ λ λ λ 注：用定义求特征值与特征向量，最重要的是求出特征值. 为 此，首先求出矩阵的特征多项式，并将它按降幂排列，然后通过 试根或因式分解将其化为一次式的乘积，从而求出特征值. 求特 征向量即求齐次方程组 (A - λE)X=0 的基础解系