⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点, 均称为函数的驻点 注意:驻点 极值点 例如,点(0,0)是函数z=x的驻点,但不是极值点 问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 定理2(充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点. 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意： 例如, 点 (0,0 )是函数 z = xy 的驻点，但不是极值点. 定理2（充分条件） 设函数 z = f ( x , y )在点 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 又2(x0,J0)=0,了(x0,”0)=0, 令∫x(x0,y0)=A,J(x0,y0)=B, 则∫(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下: (1)AC-B>0时具有极值, 当A<0时有极大值,当A>0时有极小值; (2)AC-B2<0时没有极值; (3)AC=B=0时可能有极值,也可能没有极值, 还需另作讨论. tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 又 ( , ) 0 0 0 f x y = x , ( , ) 0 0 0 f x y = y ， 令 f x y A xx ( , ) = 0 0 ， f x y B xy ( , ) = 0 0 ， f x y C yy ( , ) = 0 0 ， 则 f ( x , y )在点 ( , ) 0 0 x y 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 2 AC - B > 时具有极值， 当 A < 0时有极大值，当 A > 0时有极小值； （2） 0 2 AC - B < 时没有极值； （3） 0 2 AC - B = 时可能有极值, 也可能没有极值， 还需另作讨论．
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例4求函数∫(X,y)=x-y+3x2+3y2-9x 的极值 解先解方程组 ∫f:(x,y)=3x2+6x-9=0 f,(x,y)=-3y2+6y=0, 求得驻点为 (1,O)、(1,2)、(-3,0)(-3,2) 将上方程组再分别对x,求偏导数, tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 f (x, y) x y 3x 3y 9x 3 3 2 2 = - + + - = - + = = + - = ( , ) 3 6 0, ( , ) 3 6 9 0, 2 2 f x y y y f x y x x y x (1,0)、(1,2)、(-3，0)、(-3，2) 例4 求函数 的极值 先解方程组 求得驻点为 将上方程组再分别对 x , y 求偏导数
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o ∫-(x,y)=6x+6,J(x,y)=0, f(x,y)=-6y+6 在点(1,2)处,AC-B2=126>0,又A>0, 所以函数在(1,0)处有极小值∫(1,0)=-5; 在点(,2)处,AC-B2=12(-6)<0,所以f(1,2) 不是极值; 在点(-30)处,AC-B2=-126<0,所以f(-3,0) 不是极值; tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f yy (x, y) = -6 y + 6 (1,0) 12 6 0, 2 AC - B = > A > 0, f (1,0) = -5; 在点 (1,2) 处， 又 所以函数在 处有极小值 (1,2) 12 6 0, 2 AC - B = - < 12 ( 6) 0, 2 AC - B = - < f (1,2) f (-3,0) (-3,0) 在点 处， 所以 不是极值； 在点 处， 所以 不是极值；