7.重因式：不可约多项式p（α）称为多项式(x)的k重因式，如果p（）整除f(）,但p+1（）不整除f(）.当k=1时，p(）称为多项式f(）的单因式,当k>1时，p(α)称为多项式f(α)的重因式四、重要数域上的不可约多项式1.复数域上的不可多项式是且仅是一次多项式2.实数域上的不可约多项式是且仅是一次多项式和判别式△<0的二次多项式.3.有理数域上的不可约多项式：1）有理数域上的多项式可以表为一个有理数与一个本原多项式之积，且除了一个正负号外是唯一的.本原多项式是指系数互素的整数系数多项式2）高斯（Gauss）引理：两个本原多项式之积仍是本原多项式.3）非零的整数系数多项式如能分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，则能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积，4）艾森斯坦（Eisenstein）判别法：设f(x)=a.t"+an-ir"-i++ao,是一个整数系数多项式，如果有一个素数p，满足条件：p整除a,-1，"，ao，p不整除an，p2不整除αo，那么f(）是有理数域上的不可约多项式.五、多项式的根1.余数定理与因式定理：1)余数定理：用r-a去除多项式f(r）,其余式为常数f(a).2）因式定理：a是多项式f(α)的根当且仅当-a整除f(α）.2.重根：1）如果-a是f()的k重因式,则a称为f()的k重根2）数域P上n次多项式在P中的根不多于n个（重根按重数计算）.3.有理根：设f(）=anz"+an-1α"-1+.+ao，是一个整数系数多项式，ris是f(）的有理根，（r，s）=1,则sla，rlao.当a=1时，f(）的有理根都是整数，且为α。的因子，4.根与系数的关系：设f(）=r”+a"-l++aEP[],f(α在数域P中有n个根α，α2，"，αn，则有:3
(α,+α2+.+α=-a1,αiaz+α2ag+...+an-1a=a2,Zα,αt"α=（-1)'a,（所有可能的i个根之积的和），αrα2"".α,=(-1)"an.*六、多元多项式与对称多项式1.设P是一个数域，，2，…，，是文字，形如a…的式子，其中aEP,k，kz，"，k，是非负整数，称为P上的一个n元单项式2.数域P上有限个n.元单项式的和，称为数域P上的一个n元多项式3.数域P上全体n元多项式的集合称为数域P上n元多项式环4.数域P上的一个n元多项式f（，，，），如果任意交换两个文字的位置，多项式不变，则称为对称多项式，5.下面的n个多项式称为初等对称多项式：o=xi+2++a.,o2=ai2+xia,+...+-1c.oiT6.对称多项式基本定理：数域P上的任意n元对称多项式都能唯一地表为初等对称多项式的多项式，题例$1.2例1写出包含/2的最小数环和最小数域解令A=2m+n2lm，nEzl.A是一个数环，事实上，A≠0.V2m+n/2,2m,+n/2EA,则(2m+ n/2)±(2m, +n2)=2(m±m)+(n±n,)2EA,(2m + n/2)(2m, + ni /2)=2(2mm + nn;)+(2mni +2m,n )/2EA,显然/2=0+1/2EA.另一方面，如B为数环，且V2EB，则V2+...+/2EB,-V2=0-/2EB,(-/2)+... +(-N2)EB,4
即nV2EB，nEZ.而2=（V2)?EB，推出全体偶数在B中，因而A二B.A是包含2的最小数环令P=ia+b/2la,bEQ.P为数域，事实上0,1EP，Va+b/2.c+d2EP.则(a+b2)±(c+d/2)=(a±c)+(b±d)2EP,(a + b/2)(c + d /2)= (ac +2bd)+(ad + bcW2EP设c+d/2±0，a+b/2_(a+b/2)(c-dV2)_1[(ac -2bd) +(bc- ad /2)1c+d/2（c+d/2)(c-d/2)-2d设F为含/2的任意数域，易见P三F，即P是含V2的最小数域点评包含/2的最小数环是指一个数环A，适合/2EA，且如果一个数环B包含/2，则A二B.包含/2的最小数域类似，例2设f()是数域P上的多项式，如Va，bEP，都有f(a +b)= f(a)+ f(b),则 f()=kr,kEP.证明证法1设f()=a”+.…+a+ao,则vuEP,有f(2u)=f(u+u)=f(u)+f(u)=2f(u),0=f(2u)-2f(u)=2"a,u"+...+2a,u+a-2a,u"-...-2a,u-2a=(2" -2)anu" +... +(2? -2)a2u? - ao,于是a.=….=α2=a=0.f()=ai.令=at,则f(α)=.证法2 设f(α)=a,r"+.+a+ao,由于f(t)=f(t+0)=f(t)+f(0),VtEP成立.于是f(0)=0,即a。=0,f(x)=an"+...+a,r.f(2) = f(1+1) =2f(1), f(3) = f(2) + f(1) =3f(1), *, f(n) = nf(1)设f(1)=k,得f(1)=ar +az +...+an=k,f(2)=2a, +2°a2+..+2"an=2k,(1)f(n)= nar + n'a2 +... + n"a, = nk,线性方程组（1)的系数行列式是范德蒙行列式，不等于0，(1)只有唯一解：a,k,a2=...=a,=0所以f()=k,kEP.5
点评本题是由多项式的性质来刻画多项式的一个典型问题.证法1通过性质构造一个多项式恒等于零，推出系数全为零，得出结论.证法2利用解方程组得出.例3证明实数域上多项式f()=+ a+q +是实数域上一个多项式的立方当且仅当=3汇，g=3（开方为实3次方根)证明设f()=（g())3,则g()为一次多项式.设g()=a+b,于是3+pr?+qx+r=(ar+b)=a+3ab2+3ab+63对比系数,得a3=1,3a2b=p,3ab2=q,63=r解得a=1,=36,g=362,b=.得出=3,g=3反之，设条件成立.p=3斤，q=3.则显然f()=(+)3点评这类问题解法基于待定系数法，即两多项式相等当且仅当对应系数相等，转换为方程组求解，例4当且仅当k，l,m适合什么条件时，2+kr+1lx+lz2+m？解解法1用带余除法，可得+l2+m =(2+kx+1)(2-kr+(2+1-1))+k(2-l-k2)x+(m+1-l-k2).因而当且仅当(k(2- l -k2)=0,(1)(m+1-l-k2=0时,r?+kr+11x*+l+m条件（1)等价于[k=0,[m=1,成1=2-k2.1=m+1,解法2 记+l2+m=(+kx+1)(2++g),比较系数，得方程组(k+p=0,kp+q+1=l,kq+p=0,由p=-k，q=m，得k（m-1)=0,即k=0或m=1.如k=0,则l=m+1;若.6
m=1，则1=2-k2，即当且仅当k=0,[m=1,(1=m+1,l=2-k时，?+kx+1|r*+lr?+m.点评证明一个多项式g（）整除一个多项式f（），对于其系数已具体给出时，通常可采用带余除法：f（α）=g（α）g（α）+r（α），整除性等价于余式r（）=0.或利用待定系数法，形式地写出(2)f(α)=q(α)g(x),a(g())=a(f()）-a(g（α)),g)的系数为待定常数，比较(2)两端各项系数，解出方程组，当且仅当该方程组在相应的数域内有解时，g（z)If（）例 5 若(r-1)lg(α"),求证("-1)Ig(r").证明证法1因为(x-1)lg("),由因式定理得g（1"）=0,即g（1)=0,故(r-1)lg(r),于是存在多项式h（），使(r-1)h(x)=g(x)有"代，得(r"-1)h(r")= g(α")即(x"-1)lg(α")证法2”-1有n个不同的复根，即全部n次单位根α1，α2，，αn.而g(α;)=g(1)=g(1")=0,i=1,2,",n即α1,α2,",α是g(")的根,因而(a"-1)lg(r").点评证明一个多项式g()整除多项式f(z),在f()和g()的系数未具体给出时，可采用以下方法：如果g（α)无重根，且g()的复根全部都是f(）的根，则g（)lf(）.事实上，设g（）的根是α1，α2，"，αk，则可表为g()=a(α)(-αz).(-α).因f(α,)=0, i=1,2,",k.故.7