第一章函数与极限 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动 的量.所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本 方法.本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念以及它们的一些 性质， 第一节映射与函数 映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射 的一种，本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等. 一、映射 1.映射概念 定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中每个元素 x,按法则，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∫为从X到Y的映射 记作 f:X→Y, 其中y称为元素x(在映射∫下)的像，并记作f(x),即 y=f(x), 而元素x称为元素y(在映射∫下)的一个原像：集合X称为映射∫的定义域，记 作D,即D,=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射∫的值域，记作R,或 f(X),即 R=f(X)={f(x)1x∈X|. 从上述映射的定义中，需要注意的是： (1)构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X,即定义域D,=X;集合 Y,即值域的范围：R,CY;对应法则∫，使对每个x∈X,有唯一确定的y= (x)与之对应. (2)对每个x∈X,元素x的像y是唯一的；而对每个y∈R,元素y的原像不 定是唯一的：映射∫的值域R,是Y的一个子集，即R,CY,不一定R,=Y. 。1
第一章函数与极限 例1设f:R→R,对每个xeR,f(x)=x2.显然，∫是一个映射f的定义域D =R,值域R=|y1y≥0|，它是R的一个真子集.对于R中的元素y,除y=0外，它 的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个. 例2设X=1(x,y)1x2+y2=1,Y=(x,0)1Ixl≤1}f:X一→Y,对每个(x,y) ∈X,有唯一确定的(x,0)∈Y与之对应.显然∫是一个映射，f的定义域D,=X,值 域R=Y.在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点 投影到x轴的区间[-1,1]上， 例3设[-受引-1，小，对每个x-受引)=inx是一个 映射，其定义域D,=[受，引，值域R,=[-1,1小. 设∫是从集合X到集合Y的映射，若R=Y,即Y中任一元素y都是X中某 元素的像，则称∫为X到Y上的映射或满射：若对X中任意两个不同元素x,≠ 2,它们的像(x,)≠八x2),则称∫为X到Y的单射；若映射∫既是单射，又是满 射，则称∫为一一映射（或双射）： 上面例1中的映射，既非单射，又非满射：例2中的映射不是单射，是满射： 例3中的映射，既是单射，又是满射，因此是一一映射 映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又 有不同的惯用名称.例如，从非空集X到数集Y的映射又称为X上的泛函，从非 空集X到它自身的映射又称为X上的变换，从实数集（或其子集）X到实数集Y 的映射通常称为定义在X上的函数 2.逆映射与复合映射 设∫是X到Y的单射，则由定义，对每个y∈R,有唯一的x∈X,适合 f八x)=y.于是，我们可定义一个从R到X的新映射g,即 g:RX, 对每个yeR,规定g(y)=x,这x满足f(x)=y.这个映射g称为f的逆映射，记作∫， 其定义域D1=R,值域R=X 按上述定义，只有单射才存在逆映射.所以，在例1、例2、例3中，只有例3 中的映射∫才存在逆映射∫'，这个就是反正弦函数的主值 f(x)=arcsin x,xE[-1,1], 其定义城D=[-1,小，值城R-[受引 设有两个映射 ·2·
第一节映射与函数 g:X→Y1,f:Y2→Z, 其中Y,CY2,则由映射g和∫可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个 xeX映成f几g(x)]∈Z.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个 映射称为映射g和f构成的复合映射，记作fg,即 fg:X→Z,(fog)(x)=f几g(x)],x∈R 由复合映射的定义可知，映射g和∫构成复合映射的条件是：g的值域R,必 须包含在∫的定义域内，即R。CD,否则，不能构成复合映射.由此可以知道，映 射g和f的复合是有顺序的，f。g有意义并不表示g·f也有意义.即使 fg与gf都有意义，复合映射∫g与gf也未必相同. 例4设有映射g:R一→[-1,1]，对每个x∈R,g(x)=sinx,映射f:[-1,1]→ [0,1],对每个u∈[-1,1]，f(u)=√1-，则映射g和f构成的复合映射 fg:R→[0,1]，对每个x∈R,有 (fg)(x)=f1g(x）]=f(sinx)=√1-sinx=Icos xl. 二、函数 1.函数的概念 定义设数集DCR,则称映射∫：DR为定义在D上的函数，通常简记为 y=f(x),xED, 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D,即D,=D. 函数的定义中，对每个xeD,按对应法则了，总有唯一确定的值y与之对应 这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x),即y=f(x),因变量y与自变量x 之间的这种依赖关系，通常称为函数关系.函数值(x)的全体所构成的集合称 为函数∫的值域，记作R或f(D),即 R,=f(D)=yly=f(x),xED!. 需要指出，按照上述定义，记号∫和(x)的含义是有区别的：前者表示自变 量x和因变量y之间的对应法则，而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了 叙述方便，习惯上常用记号“f(x),x∈D”或“y=f(x),xeD”来表示定义在D上 的函数，这时应理解为由它所确定的函数 表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的∫外，还可用其他的英文字 母或希腊字母，如“g”“F”“p”等.相应地，函数可记作y=g(x),y= F(x),y=p(x)等，有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作y= 。3
第一章函数与极限 y(x).但在同一个问题中，讨论到几个不同的函数时，为了表示区别，需用不同 的记号来表示它们 函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素 是：定义域D,及对应法则f如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么 这两个函数就是相同的，否则就是不同的. 函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根 据实际背景中变量的实际意义确定.例如，在自由落体运动中，设物体下落的时 间为t,下落的距离为3，开始下落的时刻t=0,落地的时刻t=T,则s与t之间的 函数关系是 s=7g,te[0,T1. 这个函数的定义域就是区间[0，T]:另一种是抽象地用算式表达的函数，通常约 定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称 为函数的自然定义域.在这种约定之下，一般的用算式表达的函数可用“y= 八x)”表达，而不必再表出D例如，函数y=√1-x的定义域是闭区间 [-1,1小.函数y1 亏的定义域是开区间(-1,1) 表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法），这在中学 里大家已经熟悉.其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面 上的点集 P(x,y)ly=f(x),xEDI 称为函数y=f(x),x∈D的图形（图1-1）.图中的R,表示函数y=八x)的值域 下面举几个函数的例子， 例5函数 y=2 的定义域D=(-∞，+∞)，值域W={2,它的图形是一条平行于x轴的直线，如 图1-2所示。 y=f(x =2 图1-1 图1-2 4
第一节映射与函数 例6函数 =-80 的定义域D=(-∞，+0)，值域R=[0,+∞)，它的图形如图1-3所示.这函数称 为绝对值函数， 例7函数 -1,x<0, y=sgn x=0,x=0, 1,x>0 称为符号函数，它的定义域D=(-∞，+∞)，值域R={-1,0,1{,它的图形如图 1-4所示.对于任何实数x,下列关系成立： x=sgnx·xl. 图1-3 图1-4 例8设x为任一数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]· 例如，引=0.[21=1.]=3.[-1=-1，[-3.5]=-4把看作变量，则 函数 y=[x] 的定义域D=(-0,+,值域R,=Z.它的图形如图1-5所示，这图形称为阶梯 曲线在x为整数值处，图形发生跳跃，跃度为1这函数称为取整函数， 在例6和例7中看到，有时一个函数要用几个式子表示.这种在自变量的不 同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数， 例9函数 e 是一个分段函数.它的定义域D=[0,+).当xe[0,1]时，对应的函数值 .5