CHAPTER 通腐中课程标准实教科书数学(选修34)对称与群 命题平面刚体运动 将平面a内的直线映成直线,射线映成射线,线段映成等长的线段 证明:令l是平面a内的任意一条直线,设m把l上所有的点映到点集 在l上任取两点A、B,设m把它们分别映到A'、B.下面我们来证明是过点A B的直线 在AB上任取一点C,设m把点C映到点C 1)如图1-10,当点C在AB之间时,由平面刚体运 动的定义得 , IACI+I= I+ICB =|A'B' 图1-10 所以点C在线段A'B'上(为什么? (2)如图1-11.当点C在AB的延长线上时,我们有 A'B'|+|BC'|=|AB|+|BC I AC I =|AC' 所以B在线段AC上,即点C在线段A'B'的延长线上 图1-11 同理可证,当点C在BA的延长线上时,点C在线段BA'的延长线上 由点A、B、C的任意性可知,是一条直线 如何证明平面刚体运动m:平面a→平面a将平面a上的射线映成射 线,线段映成等长的线段? 下面,我们说明三角形在平面刚体运动的作用下,形状和大小都保持不变 如图1-12,设△ABC是平面a内的任意一个三角形,由已证命题可知,平面刚体 m:平面a→平面a 把线段AB、BC、AC依次映成线段AB'、BC'、A℃ AB=A'B,, BC=BC. AC-AC 8
朝一讲平图形的对称群 第 图1-1 AB+BC>AC, 故 AB+BCAC 所以AB'、BC、CA构成了一个以A'、B、C为顶点的三角形,而且△ABC与 △ABC是全等的 设正n边形K以O为中心,以点A1,A2 A.(n≥3)为顶点,说明在平 面刚体运动的作用下,K的大小和形状都保持不变,且顶点A1,A1,…,A的象 仍是新的正n边形的顶点 最后,我们讨论一类特殊的平面刚体运动设 是一个平面刚体运动,若在平面a内至少存在一个点O,点O在m的作用下保持不动 即m(O=O.我们称m为有不动点的平面刚体运动 这类平面刚体运动在下面的学习中具有重要的地位,我们知道,关于直线l的反射 变换以上所有的点为不动点;以点O为中心的旋转变换以点O为不动点.有趣的是 有不动点的平面刚体运动只有旋转变换和反射变换(证明详见附录二) 温9
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学(选修34)对称与群 1.标出下图中的点A、B、C、D、E在关于直线!的反射变换下的象; 2.依次标出下图中的顶点A~H在以点O为中心转90°、180°、270°的旋转 变换下的象 y 1.对称变换的定义 从上面的讨论发现,我们可以利用平面刚体运动来定义平面图形的对称性.例如 由于等腰三角形在关于其对称轴l的反射变换r的作用下,仍与原来的图形重合,我们 就称等腰三角形具有轴对称性,并把反射变换r叫做等腰三角形的对称变换 下面,我们利用平面刚体运动,将平面图形“对称”的概念推广到一般情形 定义若一个平面图形K在平面刚体运动m的作用下仍与原来的图形重合,就称 K具有对称性,m叫做K的对称变换( symmetric transformation或 symmetry) 安照上述定义,“一个平面图形是对称图形”等价于说“一个平 面图形有对称变换”, 显然,任意图形都在恒等变换下变到自身,这时我们也认为这个 图形具有对称性.但是我们真正感兴趣的是那些非恒等变换的对称变 换,以及在这样的对称变换下图形的对称性 这样定义的图形的对称性,比我们熟悉的轴对称性、中心对称性 要广泛得多,例如,图形的中心对称性是指这个图形绕平面上某一个 点旋转180°后仍与原图形重合,而这里的对称性不局限于旋转180° 即旋转的角度可以是任意角.这样,由于正五边形绕中心O旋转72后仍然与原图形重 合,因此正五边形具有对称性,面绕正五边形中心O旋转72的旋转变换就是正五边形 的一个对称变换.同样地,正六边形绕它的中心O旋转60后不变的性质,是正六边形
第一讲平面图形的对称群 的一个对称性 2.正多边形的对称变换 对于一个具有对称性的平面图形,例如正多边形,它的对称变换是唯 的吗?如果不唯一,你能找出它的所有对称变换吗? 下面我们先考察一下正三角形的对称变换 如图1-13,画一个正三角形,在它的三个顶点上标上数字1、2、3,并画出它的 条对称轴n、n、n和中心O 通过实验,容易发现,正三角形在下列平面刚体运动的作 用下保持不变 (1)恒等变换,记作l; (2)关于对称轴n所在直线的反射,记作n; 图1-13 (3)关于对称轴n所在直线的反射,记作r 11
CHAPTER 通离中课程标准实验教科书数学(修34)对称与群 (4)关于对称轴n所在直线的反射,记作n (5)以点O为中心转120°的旋转,记作P (6)以点O为中心转240°的旋转,记作P 在上述变换中,1,2,3表示三角形123的顶点在变换下的象所在的位置.例如 时于(2)中的变换n,我们有 1=n(1),2′=n1(3),3=n(2) 这样,我们就找到了正三角形的6个对称变换,习惯上,把它们组成的集合记作D, D1=(|,n 可以发现,在这6个变换中,中心O都保持不动;在D中任意一个变换的作用下, 角形的顶点1,2,3的象仍然是三角形的顶点,它们按照某种顺序落到三角形的顶 点上 由前面已有的相关知识可知,正多边形的对称变换由平面上的3个不共线的点唯一 确定,又由于D2中的6个变换都以中心O为不动点,因此,D中的对称变换由三角形 的两个顶点完全确定.例如,如果在对称变换m的作用下,1,2分别对应于3’,1,那 继续作图,你还能找到正三角形其他的对称变换吗? a日日日日日日日日日日日日日图 12