等腰三角形 等腰梯 正五边形 如图0-5.平行四边形、正六边形等都是中心对称图形 平行四边形 正六边形 图0-5 如图0-6,圆、正方形等既是轴对称图形,又是中心对称图形 图 正是根据过 国心的任意直 1.试找出上述7个图形的对称轴或对称中心 都是圆的对称轴 2.将正五边形绕它的中心至少旋转多少度才能与原来的:绕圆心数转任意 图形重合?正六边形呢? 商度都与原来的 重合,古希 :3.圆的对称轴有多少条?把圆绕它的圆心旋转多少度就:毕达哥拉断学派 能够与原来的圆重合 |认为。圆是平面 上最宠美的图形 对“对称性”的研究常常可以使我们加深对物体性质的认识.在本专题中,我们将 借助数学工具来研究各种各样的“对称性”,介绍关于“对称”的数学理论 3
第一讲 平面图形的对称群 平面刚体运动 1.平面刚体运动的定义 现在我们换一个角度来考察引言中的定义1和定义2 按照定义1,等腰三角形是一个轴对称图形,如图1-1,把一个 等腰△ABC沿它的对称轴/折叠,则直线l两旁的部分完全重合 观骤 如图1-2所示,在一张纸(平面)上画一个等腰△ABC,在它的底边的垂直平 分线AD处放一面“双面镜”,并使镜面与纸面垂直,在镜面的反射下,△ABC被 映成了什么图形?这个图形与△ABC有什么关系? 从“双面镜”中可以看到,点B被映到了点C,点C被映到了点 B,△ABC被映到了△ACB,而且△ACB与△ABC是全等的 由于镜面垂直于纸面,因此上述△ABC关于镜面的反射可以看成 na是△ABC关于它的底边垂直平分线AD的反射 图12 如图1-3,任意作一个等腰三角形ABC.任取△ABC 上一点P,作点P关于△ABC底边垂直平分线AD的对称 :点P.那么,A、B、C关于直线AD的对称点分别是什么?: △ABC变成了什么图形?这个图形与△ABC有什么关系? 4
第一讲平面图形的对称群 c的则思△C坡笔等的B甲△个,的点C 现在,代替等腰三角形,我们考察整个平面关于“双面镜”的反射 我们知道,一个平面可以看成是点的集合,就像我们把直线看成点的集合一样.设 a是一个由平面内的所有点组成的集合,t是这个平面内的一条直线,定义点集(平面) a到其自身的一个映射 r:P→P r把平面a内的任意一点P映到点P关于直线l的对称 点P(图1-4).我们把这个映射称为平面a关于直线 的反射( reflection).数学上,把这样定义的反射称 为平面a的一个反射变换 图 可以知道,在反射变换r的作用下,平面 我们把平面 内的点被映到点,平面a内的图形被映到了 那么平面内的图 与它全等的图形(图1-5 形就是由它的边 这时,如果一个平面图形(如等腰三角 界上的点构成的形)在映射r的作用下仍与原来的图形重合 我们就称这个平面图形是一个轴对称图形 图1-5 按照这个定义,引言中的等腰梯形、正五边形都是轴对称图形吗?这 个定义与引言中的定义1是等价的吗? 按照引言中的定义2,正方形是一个中心对称图形 如图1-6,正方形ABCD绕它的中心O逆时针旋转180°后 得到的图形与原来的图形重合,其中,A、B、C、D分别被转到 了C、D、A、B的位置 现在,代替正方形,我们考虑整个平面绕平面内一个固定点 逆时针转180°的旋转,准确地说,设a是一个平面内所有点构成 的集合,O是平面a内的一个固定点,定义点集(平面)a到其自 身的一个映射 1-6 P:P→P, p把平面a内的任意一点P绕点O旋转180后映到点P(图1-7),这个映射称为以点O 为中心转180的旋转( rotation) 再看一下正方形的旋转.如图1-8,取正方形ABCD的中心O为固定点,设P是以 温量5
CHAPTER 通高中课拦标准实验教科书数竽(远修34)对称与群 点O为中心转180°的旋转.那么,在P的作用下,正方形上任意一点P被映到了正方形 上另一点P',正方形的顶点A、B、C、D依次被映到点C、D、A、B,正方形ABCD 被映到正方形CDAB,显然这两个正方形重合 若没有特别 说转的方 是指逆时针 图1-7 图1-8 一般地,如果一个平面图形在映射P(以点O为中心转180°的旋转)的作用下仍与 原来的图形重合,我们就称这个平面图形是一个中心对称图形 按照这个定义,引言中的平行四边形、正六边形、圆都是中心对称图· 形吗?这个定义与引盲中的定义2是等价的吗? 我们可以对以点O为中心转180°的旋转进行推广,请同学们自己定义一个映射,表 示平面以一个固定点P为中心转任意给定角度的旋转,这样定义的映射在数学上称为旋 转变换 旋转角度为0的旋转变换把平面上的所有点映到它自身。这个映射使整个平面上的 每个点都保持不动,所以称为恒等变换( identity transformation 操 P、Q是平面内的任意两点,在旋转(或反射)变换的作用下,它们的对应 点分别是P、Q.P到Q的距离与P到Q的距离有什么关系? 探索在某种变 可以发现,反射变换和旋转变换有一个共同的特点,即所谓 换下的不变量或不“保距性”也就是说,对于平面内的任意两点P和Q,在反射 变关系,是批学研(或旋转)变换的作用下的对应点是P和Q,那么P到Q的距离 究的重要问题 等于P到Q的距离,借用物理学中的一个名词,我们把这类“保
第一讲平面图形的对称群 持距离不变”的映射称为平面刚体运动 为了方便,今后我们将不再区分平面a和其内的所有点组成的集合a,即a既是一个 平面的符号,又是一个平面内所有点组成的集合的符号 定义设a是一个平面,映射 0如采映射 m:平面a→平面a 满足:(1)A中 是一个一一映射·,若m保持平面。内任意两点间的距离不变,不同的去在B 则称m是一个平面刚体运动( the rigid motions of the plane) 中有不同的象 (2)B中任意 下面我们对上述定义作一个简单的解释任意一个平面刚体个元素,在A 运动m:平面a→平面a,都满足下面四条 有一个原象 (1)对于平面a内的任意一点P,在平面a内存在唯一的一 么这个映射就叫 点P与之对应,记作P=m(P),P叫做P在m作用下的象 (2)任取平面a内的一点P,存在平面a内的点P,使得 是P在变换m作用下的象 (3)任取平面a内的两点P1、P2,如果P1≠P2,那么它们的象也是不同的,即m (P)≠m(P2); (4)任取平面a内的两点P、Q,它们在m下的象是P、Q,即P=m(P),Q= m(Q),那么PQ1=PQ,即点P、Q之间的距离与点P、Q之间的距离相等 实际上,我们在过去的学习中碰到过许多平面刚 体运动.例如,我们熟悉的平移( translation)就是 一类平面刚体运动 你能举出一些平面刚 体运动的例子吗 设a是一个平面,点O是a内的一个定点,v是 一个以O为起点的定向量,平移是指平面内一个点到 点的映射 t;P→P t把平面内的任意一点P映到点P,且满足OF=O+v (图1-9) 这个映射在数学上称为平移变换在平移变换t的作用 下,平面内的所有点沿定向量v的方向,移动了距离|v 图1-9 2.平面刚体运动的性质 平面刚体运动m:平面a·平面a有哪些性质呢?保持距离不变是m的一个很强的 性质.可以证明,只要知道不共线的3个点A、B、C在m下的象A'、B、C,m就完 全确定下来了(参见附录一) 下面我们再来证明:在平面刚体运动m的作用下,正n边形的大小和形状都保持不 变,为了证明这个结论,我们先来证明下面这个命题 7