第一讲平面图形的对称群 你找到其他的对称变换了吗?一定没有.事实上,并不是你找不出来,而是除了上 述6个对称变换外,正三角形再也没有其他的对称变换了,这是因为,正三角形的对称 变换都是以其中心O为不动点的平面刚体运动,因此只有两类—或是以O为中心的旋 转变换,或是关于经过O点的直线的反射变换;另一方面,由于三角形的对称变换由它 的两个顶点完全确定,除了上述6个对称变换外,别的旋转变换和反射变换显然都不会 是正三角形的对称变换 为了使同学们进一步熟悉正多边形的对称变换,下面,我们再来看一下正方形有哪 几个对称变换。与正三角形类似,正方形的对称变换都以其中心O为不动点,因此只要 在以O为中心的旋转和关于经过O点的直线的反射中寻找就够了 如图1-14,在纸片上画一个正方形,在它的4个顶点上 标上数字1,2,3,4,再画出它的4条对称轴n,r 通过操作,我们可以找到下列正方形的对称变换.请同学 们根据下列图形,在横线上填上相应的对称变换;或根据下列 对称变换,画出相应的图形 1.恒等变换,记作 图1-14 2.关于对称轴n所在直线的反射,记作n; 记作n; ,记作n 量13
CHAPTER 遇高中课程标准实教科书数学(进修34)对称与群 6.以点O为中心转90的旋转,记作A 记作P 记作 这样,我们就找到了正方形的8个对称变换,这8个对称变换都保持正方形的中心不 动,面把它的顶点仍然映成顶点习惯上,把这8个对称变换组成的集合记作D,即 D-I,n, n,n,n, P, e, Pl 事实上,正n边形的对称变换都保持它的对称中心不动,面把它的n个顶点仍然映 成顶点 /输 (1)你能给出正五边形、正六边形的对称变换吗? :(2)你能给出等腰(不等边)三角形、平行四边形的对称变换吗? 3.对称变换的合成 上面我们以正三角形、正方形为例,讨论了正多边形的对称变换。像研究数的性质 时要考察数的运算一样,我们想探索的是,对于一个正多边形的对称变换的集合,其中 14圆
第一讲平图形的对称群 的元素是否也可以“运算”呢?例如,若我们对正n边形连续做两次对称变换,结果会 怎样?这就是我们下面要讨论的对称变换的合成问题 所谓一个正多边形的两个对称变换的合成,是指先做一个对称变换,再做另一个对 称变换.以正方形的对称变换的合成为例,先对正方形做变换n,再做变换P,用图形 表示为: 工+工 0我们熟悉 的数字的乘法接 这样,我们就得到了正方形的一个新的变换,记作A·r0,它 对正方形的作用效果是 进行,而对称变 的合成习惯上 按从右到左的顺 序进行 当然A·n仍是正方形的一个对称变换(为什么?),很自然地想知道,它是D中哪一个 对称变换呢?我们发现,B·n把顶点1,2,3,4依次映到了3,2,1,4;而n也把 1,2,3,4依次映到了3,2,1,4.由于正方形的对称变换由其(任意)两个顶点所唯 一确定,所以P·n与n是相同的对称变换,即 也就是说,A与n的合成P·n仍然是正方形的一个对称变换,而且仍然在D4中 操圖 操作模型或画图,验证对于D4中的任意两个对称变换,都有类似的结论 般地,由对称变换的定义可以知道,一个平面图形的两个对称变换a与b的合成 (即先做变换a,再做变换b)仍然是这个平面图形的一个对称变换,记作b·a. 15
CHAPTER 通离中课程标准实验教科书数学(进修34)对称与群 例对于D2,分别求 (2)n·I; (3)n·r (6)A·n 分析:我们只要根据对称变换合成的过程,分步骤完成两个变换即可 解:(1)因为 △一△一△ 所以I·n=r (2)因为 所以n·I=n, (3)因为 所以n·n= (4)因为 △亠△一△ 所以n·n=A 16