例：抛硬币出现的正面的频率 表1 试验 n-=5 n=50 n=500 序号 u f(0 r f(0 乃r f.(D 1 2 0.4 22 0.44 251 0.502 23 06 25 0.50 249 0.498 1 21 0.42 256 0.512 4 0.50 253 0.506 1 0.2 24 0.48 251 0.502 56789 2 0.4 21 0.42 246 0.492 23 6 18 0.36 244 0.488 47 0.48 258 0.516 0.54 262 0.524 10 3 0.6 31 0.62 247 0.494
试验 序号 n =5 n =50 n =500 nH fn(H) nH fn(H) nH fn(H) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494 表 1 例：抛硬币出现的正面的频率
表2 实验者 n 1nyr f (1) 德摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 K皮尔逊 12000 6019 0.5016 K皮尔逊 24000 12012 0.5005
实验者 n nH fn(H) 德·摩根 2048 1061 0.5181 蒲 丰 4040 2048 0.5069 K·皮尔逊 12000 6019 0.5016 K·皮尔逊 24000 12012 0.5005 表 2
*频率的性质： 1° 0≤f(A)≤1 2°fn(S)=1 3若4,4，”，4两两五不相容，则f心4)立f(4) 且f,(A)随n的增大渐趋稳定，记稳定值为D
** 频率的性质： 且 f A n ( ) 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p． 1 2 1 1 1 0 ( ) 1 2 ( ) 1 3 , ( ) ( ) n n k k k n i n i i i f A f S A A A f A f A = = = = 。 。 。 若 ,., 两两互不相容，则
(二) 概率 设E是随机试验，S是它的样本空间对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P(A),称为事 件A的概率，如果集合函数P(·)满足下列条件 10≤P(A)(非负性) 2°P(S)=1(规范性) 3若可列个事件A,A,.,A.两两互不相容， 则PUA)=∑P(4X可列可n性) 则称P(A)是事件A发生的概率
(二) 概率 1 0 ( )( ) P A 。 非负性 2 ( ) 1 P S = 。 （规范性） 1 2 + + 1 1 3 , ( ) ( ) k i i i i A A A P A P A = = = 。 若可列个事件 , , 两两互不相容， 则 （可列可加性） , ( ) : , ( ) , , . 件 的概率 如果集合函数 满足下列条件 的每一事件 赋予一个实数 记为 称为事 设 是随机试验 是它的样本空间 对于 A P A P A E S E 则称P(A)是事件A发生的概率
(三)概率的基本性质 (1)P(Φ)=0. 证明：取可列个事件A,A,.A,令所有的4=Φ， 则AA,=Φ，即4，A,.4.是不相容事件组4=Φ， k 由概率的非负性，有P(Φ)≥0，再由概率的可列可加性得： PU4=w-2P4)-2P k=1 要使得上式成立当且仅当P(Φ)=0.得证
(三)概率的基本性质 （1）P( )=0. 1 2 1 , , , i j k k k A A A A A A + = 则 = = 即 是不相容事件组且 1 1 1 P( ) P( ), k k k k k A A + + + = = = = = 由概率的非负性,有P( ) 0,再由概率的可列可加性得: P( )= 要使得上式成立当且仅当P( =) 0.得证. 1 2 , , , 证明：取可列个事件A A A A k i 令所有的 =