华东师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 参数估计 §6.5 区间估计

第六章参数估计 第1页 s6.5区间估计 6.5.1区间估计的概念 定义651设0是总体的一个参数，其参数空间为日， x,x,x,是来自该总体的样本，对给定的一个a (0<a<1),若有两个统计量 0=0(x,x,) 和0u=0u(:,",x,)若对任意的0∈日，有 P(0,≤0≤0，)≥1-a (6.5.1) 6 April 2025 华东师范大学

第六章 参数估计 6 April 2025 华东师范大学 第1页 §6.5 区间估计 6.5.1 区间估计的概念 定义6.5.1 设 是总体的一个参数，其参数空间为Θ， x1 , x2 ,., xn是来自该总体的样本，对给定的一个 (0< <1)，若有两个统计量 和 ， 若对任意的 ∈Θ，有 （6.5.1） 1 L L ( , , ) n   x x   = 1 U U ( , , ) n   x x   = ˆ ˆ ( ) 1 , P L U        −

第六章参数估计 第2页 P(0,≤0≤0)21-a 则称随机区间[，J为0的置信水平为1-α的 置信区间，或简称0r,0u]是0的1a眉信区间 0,和，分别称为9的（双侧）置信下限和置信 上限 6 April 2025 华东师范大学

第六章 参数估计 6 April 2025 华东师范大学 第2页 则称随机区间 [ ]为 的置信水平为1- 的 置信区间，或简称[ ]是 的1-置信区间. 和 分别称为 的（双侧）置信下限和置信 上限.   L U ,     L U ,    L   U  ˆ ˆ ( ) 1 , P L U        −

第六章参数估计 第3页 定义65.2沿用定义6.5.1的记号，如对给定的α (0<a<1),对任意的0eΘ，有 P,(0≤0≤0u)=1-a(6.5.2） 称「a.a]为0的1-a同等置信区间。 同等置信区间是把给定的置信水平1-α用足了。 常在总体为连续分布场合下可以实现。 6 April 2025 华东师范大学

第六章 参数估计 6 April 2025 华东师范大学 第3页 定义6.5.2 沿用定义6.5.1的记号，如对给定的 (0< <1)，对任意的∈Θ，有 （6.5.2） 称 为 的1- 同等置信区间。 同等置信区间是把给定的置信水平1- 用足了。 常在总体为连续分布场合下可以实现。 P ( ) 1     L U     = −   L U ,        

概率论与款理能外 关于定义的说明 被估计的参数日虽然未知，但它是一个常数， 没有随机性，而区间[O,0]是随机的. 因此定义中下表达式 P{0L(X1,X2,.,Xn)≤日≤0u(X1,X2,.,Xn}=1-a 的本质是： 随机区间[O,0u]以1-a的概率包含着参数0的真值， 而不能说参数θ以1一的概率落入随机区间[O,0u]

关于定义的说明 被估计的参数𝜃虽然未知, 但它是一个常数, 没有随机性, 而区间[𝜃𝐿 ∧ , 𝜃𝑈 ∧ ]是随机的. 因此定义中下表达式 𝑃{𝜃𝐿 ∧ (𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛) ≤ 𝜃 ≤ 𝜃𝑈 ∧ (𝑋1 ,𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛} = 1 − 𝛼 的本质是: 随机区间[𝜃𝐿 ∧ , 𝜃𝑈 ∧ ]以 1 − 𝛼的概率包含着参数𝜃的真值, 而不能说参数𝜃以 1 − 𝛼的概率落入随机区间[𝜃𝐿 ∧ , 𝜃𝑈 ∧ ]

概率论与赦理线计 另外定义中的表达式 P{0L(X1X2,.,Xn)≤0≤0u(X1,X2,.,Xm}=1- 还可以描述为： 若反复抽样多次（各次得到的样本容量相等，都是） 每个样本值确定一个区间[0,0小： 每个这样的区间或包含B的真值或不包含B的真值， 按伯努利大数定理，在这样多的区间中， 包含真值的约占100(1-a)%,不包含的约占100a%

若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n) 每个样本值确定一个区间[𝜽𝑳 ∧ , 𝜽𝑼 ∧ ]. 按伯努利大数定理, 在这样多的区间中, 包含真值的约占100(1−)%,不包含的约占100%. 每个这样的区间或包含 的真值或不包含 的真值, 另外定义中的表达式 𝑃{𝜃𝐿 ∧ (𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛) ≤ 𝜃 ≤ 𝜃𝑈 ∧ (𝑋1 , 𝑋2 , ⋯ , 𝑋𝑛} = 1 − 𝛼 还可以描述为: