S7.6线性变换的值域与核第七章线性变换例1在线性空间P[xln中，令D(f(x)) = f'(x)则の 的值域就是P[x]n-1，① 的核就是子空间P.定理10设A是n维线性空间V的线性变换，E1,&2，…,En是V的一组基，在这组基下A的矩阵是A，则1）A的值域AV是由基像组生成的子空间，即AV =L(AE1, A&2, ""-, Aen)2）A的秩=A的秩(L(8), ,En)) = L(vE1, "", vE)
第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核 例1 在线性空间𝑷[𝒙]𝒏中，令 D(𝒇(𝒙)) = 𝒇 ′ (𝒙) 则D 的值域就是𝑷[𝒙]𝒏−𝟏，D 的核就是子空间𝑷. 定理10 设A是𝑛维线性空间𝑉的线性变换，𝜀1, 𝜀2, ⋯ , 𝜀𝑛 是𝑉的一组基，在这组基下A的矩阵是𝐴，则 1） A的值域A𝑽是由基像组生成的子空间，即 A𝑽 =𝑳(𝑨𝜺𝟏,𝑨𝜺𝟐, ⋯ , 𝑨𝜺𝒏) 2） A的秩=𝐴的秩. ➢ A（L(ε1 , ···,εn )）= L(A ε1 , ···, A εn )
97.6线性变换的值域与核第七章线性变换证明1）设是V中任一向量，可用基的线性组合表示为=X1E1 +X2&2+...+xnEnA=XiAE1+X2A&2+..+XnAenAEL (A1, A&2, ..., An)AV包含在L（A1，A&2，…"，An）这个式子还表明基像组的线性组合还是一个像，因此L（Aε1，A&2，…，Aen)包含在AV内，这样AV=L（A&1，A&2，…., Aen)
第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核 证明 1) 设𝜉是V中任一向量，可用基的线性组合表示为 𝜉 = 𝑥1𝜀1 + 𝑥2𝜀2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝜀𝑛 A𝜉 = 𝑥1𝐴𝜀1 + 𝑥2𝐴𝜀2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝐴𝜀𝑛 A𝜉 ∈ 𝐿（𝐴𝜀1，𝐴𝜀2，⋯ ，𝐴𝜀𝑛) AV包含在𝐿（𝐴𝜀1，𝐴𝜀2，⋯，𝐴𝜀𝑛) 这个式子还表明基像组的线性组合还是一个像，因此𝐿（𝐴𝜀1 ，𝐴𝜀2，⋯，𝐴𝜀𝑛) 包含在 AV 内 ， 这 样 AV = 𝐿（𝐴𝜀1，𝐴𝜀2，⋯ ，𝐴𝜀𝑛)
S7.6线性变换的值域与核第七章线性变换2)根据1），A的秩等于基像组的秩，另一方面，矩阵A是由基像组的坐标按列排成的。若在n维线性空间V中取定了一组基之后，把V的每一个向量与它的坐标对应起来，我们就得到V到pn的同构对应。同构对应保持向量组的一切线性关系，因此基像组与它们的坐标组（即矩阵A的列向量组）有相同的秩。注：定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变
第七章 线性变换 §7.6 线性变换的值域与核 2)根据1），A的秩等于基像组的秩，另一方面，矩阵A是 由基像组的坐标按列排成的。 若在n维线性空间V中取定了一组基之后，把V的每一个向量 与它的坐标对应起来，我们就得到V到𝑃 𝑛的同构对应。 同构对应保持向量组的一切线性关系，因此基像组与它们 的坐标组（即矩阵A的列向量组）有相同的秩。 注：定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变