第六章平面向量及其应用总体设计向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通儿何与代数的桥梁，向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用，本章的学习可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义掌握平面向量的概念、运算、平面向量基本定理；用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题；提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养./一、本章学习目标1.平面向量的概念（1）通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义（2）理解平面向量的几何表示和基本要素2.平面向量的运算（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义，（2）通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义（3）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义（4）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积（5）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（6）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系3.平面向量基本定理及坐标表示（1）理解平面向量基本定理及其意义12|普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册|
（2）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示（3）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算（4）能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角（5）能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件4.平面向量的应用与解三角形（1）会用向量方法解决简单的平面儿何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用（2）借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理（3）能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题，二、本章知识结构框图平面向量的实际背景与概念平面向量的概念平面向量的几何表示相等向量与共线向量平面向量的加、减运算平面向量的运算平面向量的数乘运算平面向量的数量积平面向量及其应用平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量的坐标表示及坐标表示平面向量运算的坐标表示用向量方法解决平面何间题平面向量的应用用向量方法解决物理间题余弦定理、正弦定理三、内容安排向量是近代数学中重要和基本的概念之一，具有物理背景和几何背景，向量是沟通几何与代数的桥梁，在数学和物理学科中具有广泛的应用，【第六章13平面向量及其应用
《标准（2017年版）》将向量内容分两部分安排：必修课程中的“平面向量及其应用”和选择性必修课程中的“空间向量与立体几何”平面向量是学习空间向量的基础，空间向量是平面向量的推广，在本章，教科书介绍了平面向量及其运算、平面向量基本定理及坐标表示等基本知识，通过举例说明用向量解决一些平面几何问题、物理问题的方法，特别是用向量方法证明余弦定理、正弦定理，让学生感受向量方法的力量，平面向量是体现“形”与“数”融合的重要载体，平面向量及其运算在其他数学内容中有广泛的应用在本章中，体现在平面几何中的应用，介绍了解决平面几何问题的向量方法；体现在平面解析几何中的应用，用向量方法得出了线段中点的坐标；体现在三角函数中的应用，用向量方法证明了两角差的余弦公式、余弦定理、正弦定理。下一章介绍复数及其运算时也联系了平面向量及其运算，在选择性必修课程中，类比平面向量及其运算介绍空间向量及其运算，用向量方法解决立体儿何问题：用向量方法解决平面解析儿何中直线与方程的有关问题本章包括四节内容：6.1平面问量的概念，6.2平面向量的运算，6.3平面向量基本定理及坐标表示，6.4平面向量的应用这一结构体系体现了研究一个数学对象及其应用的基本思路和方法关于向量的概念，教科书以位移、速度、力等物理量为背景抽象出向量的概念，即引人既有大小又有方向的量，受用带箭头的线段表示位移启发，教科书用有向线段直观表示向量，进而给出零向量、单位向量的概念，以及平行向量、相等向量、共线向量的概念，零向量、单位向量是特殊而重要的向量；平行向量、相等向量、共线向量对具有特殊而重要关系的向量进行刻画，从向量代数的角度看平行向量、共线向量的本质，它们都是线性相关的向量组数学中引进一个新的量，自然要考虑它的运算及其运算律的问题向量运算可以与我们熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发，因此在引进向量概念后接着讨论向量的运算（加、减运算、数乘运算及数量积）是很自然的，这里，为了便于学生理解，还要借助向量的物理背景，如借助位移的合成、力的合成定义向量的加法，而向量运算性质的证明则要用到平面几何的一些基本定理与实数的运算性质学过向量的运算后可知，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示，类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？根据这个想法，以向量的线性运算为基础，得出平面向量基本定理，从而可以引进向量的坐标表示，进而研究向量运算的坐标表示学习的重要目的之一在于应用，应用的过程中可以加深理解相关知识，因此教科书安排了“平面向量的应用”依次介绍向量在几何中的应用，向量在物理中的应用与余弦定理、正弦定理，余弦定理、正弦定理的内容安排与原教科书相比变化较大，一个变化是这个内容不独立成章，而是本章的一部分，目的是体现向量学习的整体性；另一个变化是余弦定理、正弦定理都用向量方法证明.用尚量方法证明余弦定理较为容易，为给学生联想到用向量方法证明正弦定理提供机会，所以本章先介绍余弦定理，后介绍正弦定理，内容的介绍按照定理的引入、证明、运用定理解决解三角形问题、解决简单的实际问题的顺序展开在本章中，向量的概念、向量的加减运算、向量的数乘运算、向量的数量积、平面尚量基本14|普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册
定理、向量运算的坐标表示、余弦定理、正弦定理是重点用向量方法解决数学和物理学科中的问题，需要综合运用向量知识、其他数学知识或物理知识，探寻解决问题的途径，这成为本章教学的难点，对于平面几何中的向量方法，要让学生通过具体例子加以体会，在解决具体问题的基础上总结一般方法，并在一般方法指导下解决其他问题，对于用向量解决物理问题，要让学生把握将物理问题转化为数学问题，获得数学问题的答案，从而获得物理问题容案的过程四、课时安排本章教学约需18课时，具体分配如下（仅供参考）：6.1平面向量的概念约1课时约6课时6.2平面向量的运算约4课时6.3平面尚量基本定理及坐标表示6.4平面向量的应用约5课时小结约2课时五、本章编写思考1.多角度展开向量内容的研究本章是必修课程与选择性必修课程中几何与代数主题的开篇，《标准（2017年版）》指出，在必修课程与选择性必修课程中，突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，向量内容的编写应落实上述对几何与代数主题的总体要求，另外，本章内容与物理联系紧密，因而可从物理、几何、代数三个角度展开本章内容的研究，形成贯穿全章的三条主线首先看物理角度，教科书注意从丰富的物理背景中引人向量内容，例如，借助位移、速度、力等现实中的常见现象，让学生认识引进向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向的量给出向量的概念，又如，从位移的合成、力的合成引人向量加法的三角形法则与平行四边形法则，再如，从力的分解引出平面向量基本定理，建立基的概念和向量的坐标表示。这样做有助于学生形成有关的概念，引出有关的定理，另外，引导学生应用向量解决物理问题，让学生在解决实际问题的过程中把握本章内容与实际的联系其次看几何角度，在引入向量概念后，即借助有向线段建立向量的直观形象，在建立向量运算体系时，说明运算的几何意义，运用几何的一此基本定理证明运算的性质，通过几何直观让学生了解向量投影以及投影向量的意义，另外，引导学生应用向量解决几何问题，特别是用向量方法证明余弦定理、正弦定理，让学生掌握平面几何中的向量方法最后看代数角度，向量属于代数学中向量空间的内容，本章遵循问量空间结构体系理论，并充分考虑高中学生的认知基础和特点，把向量及其运算与数及其运算联系起来，在研究的思想方法上进行类比，这种类比可以打开学生讨论向量问题的思路，同时还能使向量学习找到合适的思维固着点，为此教科书在向量概念的引入，向量的线性运算、向量的数量积等内容的展开上，都注意在向量空间结构体系理论这条“暗线”的指导下，把与数及其运算进行类比作为“明线”「第六章平面向量及其应用|15
另外，向量的坐标表示用有序数对刻画向量，向量运算的坐标表示实际上实现了向量运算的数量化形成向量概念、建立向量运算体系、解决数学和实际问题是向量内容的三天要点，本章从物理、几何、代数三个角度提供了向量内容的研究途径与方法，体现出向量内容密切联系实际的特点，以及代数与几何的融合。2.如何形成向量概念对力、位移、速度等物理量进行抽象是引人向量概念的一条途径，物理背景有助于对带方向的量的理解，例如，位移不但有大小，还有方向，大小相同但方向不同的位移，它们的效果是不同的，因而明确大小和方向这两要素才可以确切地表示位移，从向量的物理背景出发可以进一步定义向量的运算由力的图示可以引人有向线段，进而引人向量的几何表示，借助有向线段的长度和方向可以对向量的大小和方向进行刻画，引出零向量与单位向量等特殊向量，直观表示相等向量与共线向量等特殊关系，进一步地，探究向量运算的儿何意义有利于直观理解向量的运算向量的坐标表示进一步加深学生对向量概念的理解，建立平面直角坐标系后，平面内的任意一个向量都可以用有序数对（工，y）表示，在选择性必修课程中，给定空间一个正交基底，任意一个向量都可以用有序数组（，y，）表示，这是向量概念推广的一条途径：一般地，n维有序数组称为n维向量，引人向量的坐标表示后，向量的运算完全数量化向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，作为代数研究对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥，作为儿何研究对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），通过向量运算还可以描述几何元素之间的关系（如直线的垂直、平行等），解决长度等几何度量问题3.如何建立向量运算体系引入尚量概念后，建立向量运算体系至关重要，平面尚量的运算体系为运用向量运算解决问题奠定了基础，类比平面向量的运算体系可以在选择性必修课程中建立空间向量的运算体系：将平面向量、空间向量及其运算一般化可以得到高等数学中的向量空间的概念像数的运算体系的建立一样，在向量的运算体系的建立中，在向量空间结构体系理论这条“暗线”的指导下，向量运算体系的建立应重点考虑引入运算和研究运算的性质。在向量的线性运算与向量的数量积的研究中，物理背景、几何定理、实数运算律发挥了重要作用运算的引人可以借助向量的物理背录，如从质点的连续位移与力的合成分别引人向量加法的三角形法则和平面四边形法则，既明确了向量的和的大小，也明确了向量的和的方向，向量的数量积的定义也以物理中力做功为背景，运算的引人还可以类比数的运算，如类比数的减法引人向量的减法，向量数乘运算的定义也受数的乘法运算的启发，在向量运算性质的研究中，首先是提出运算性质，然后是证明运算性质，数具有良好的运算性质，可以类比数的运算性质提出向量的运算性质，如数的加法满足交换律，即两个数相加，交换加数的位置，和不变，因而提出向量的加法是否满足交换律的问题，还可以从两个向量的特殊关系、特殊向量人手，如考虑两个非零向量平行或垂直时向量的数量积具有怎样的特殊性，提出数量积的运算性质证明运算性质则以实数运算性质和平面几何中的一些基本定理为基础，如用16|普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册|