平行四边形的性质证明向量加法的交换律等4.关注投影向量的意义在引人向量数量积时，教科书首先定义了向量的夹角，由向量夹角的概念给出向量垂直的概念，投影向量是与向量垂直有关的概念.如图6-1所示，OM=a，ON=b.过点M作直线ON的垂线，垂足为Mi，则a=OM+M,M，其中OM与b共线，M,MIb.因此有必要对OM，进行研究.M2bMNCABD图6-1图6-2一般地，如图6-2所示，AB=a，CD=b，过AB的起点和终点A，B分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1Bi，得到A,B1，我们称上述变换为向量a向向量b的投影，称A,B为向量a在向量b上的投影向量，在图6-1中，由此定义可得，OM，为向量a在向量b上的投影向量在图6-1中，OM与b共线，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为0，当0为锐角时，容易得到OM,=acosQe.而的取值范围是0到元，所以还要验证0为直角、钝角以及0=0，0=元时此式仍然成立，进而得到OM的明确表达式为OM,=a|cosQe.另外，由数量积的定义可以得到a·e=lalcos0，所以OM,=a·e)e，此式揭示了投影向量与向量数量积的联系，在图6-1中，OM是点O到直线MM，的距离，而|OM,/=a·el，这是选择性必修课程中用向量方法推导点到直线的距离公式的依据.投影向量与向量数量积有联系，投影向量的性质与向量数量积的运算律有联系：投影向量具有性质：a十b在c上的投影向量等于a，b在c上的投影向量的和。教科书在证明向量数量积的分配律时，先证明了上述性质，然后结合投影向量的表达式推出了向量数量积的分配律(a+b).c=a.c+b.c.5.体现平面向量基本定理的基础性地位平面向量基本定理进一步加深了对向量的认识，由向量的运算可以知道，不共线向量e1，e2的线性组合^e十入2e还是一个向量；反过来，任何一个向量都可以表示成入er十入2e2吗？研究这个问题就得到了平面向量基本定理。它表明任何一个平面向量都可以唯一地表示成一个基底的线性组合，这是对平面向量的一个基础性、结构性的认识。平面向量基本定理也为用向量解决问题奠定了基础。例如，用向量方法解决几何问题时：一般先选择基底，再用基底表示其他相关向量，进而利用这种表示解决问题平面向量基本定理的基础性地位还体现在引进向量的坐标，由平面向量基本定理可知，选定《i，j）为基底后，平面内任一向量α可以唯一地表示成a=ai十yj.即对于每一个平面向量a，都有唯一的有序数对（，）与它对应，由此引入向量的坐标及向量的坐标表示，用“数对”表示向量有利于更为一般地认识向量【第六章平面向量及其应用|17
进一步地，考虑向量运算的坐标表示，即设a=（r，y)，b=（t2y2)，则a十b=（1i十T2yi十yz，a=（iyi）：ab=i十yiy，可以将向量的运算归结为向量坐标的运算，从而实现向量运算的完全数量化6.余弦定理、正弦定理的编写思考余弦定理、正弦定理是三角形中的边、角定量关系：在初中，学生学过勾股定理、锐角三角函数，那是直角三角形中的边、角定量关系，并会用这些定量关系解直角三角形，对于一般三角形，学生定性地研究过三角形中的边、角定量关系，知道边、角满足一定条件的两个三角形全等，在高中，学生进一步学习了任意角的三角函数与三角恒等变换，获得了用向量解决几何问题的方法上述内容是引人、证明、运用余弦定理、正弦定理的基础在介绍余弦定理时，教科书由两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，说明给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的，由此引出三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示的问题接下来先研究第三边用这两边及其夹角来表示，即让学生探究“在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a；b，c，怎样用a，b和C表示c?”用向量表示三角形“回路”，进而利用向量的数量积探究出a，6，c和C之间的关系，快速地获得了余弦定理，充分体现了向量44方法的优势。在介绍正弦定理时，教科书先在直角三角形中根据三角函数的定义推出sinA6-ca-bsin B=sinC，然后用向量方法证明锐角三角形、钝角三角形中sinAsinBsinC也成立，得到正弦定理，为了体现向量应用，余弦定理、正弦定理都用向量方法证明，事实上，两个定理还有其他的证明方法，可以让学生探究像解直角三角形一样，已知三角形的几个元素可以求出其他元素，即解三角形、解三角形有四种情形：已知三边：已知两边和它们的夹角：已知一边和两角，已知两边和其中一边的对角利用余弦定理的推论可以直接解决第一种情形的问题，教科书结合例题介绍其余三种情形如同通过解直角三角形可以解决简单的实际问题一样，用余弦定理、正弦定理也可以解决简单的实际问题7.设置恰时恰点的问题，体现数学知识的形成过程本章充分利用思考、探究等栏目设置了大量问题，通过这些问题启发学生独立思考，体现数学知识的形成过程，提高学生的数学思维水平，例如，在引进平面向量加法运算时，通过思考栏目，创设从位移的合成到平面向量加法的问题情境；在讨论平面向量加法的运算律时，提出“数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？”；在给出向量的减法法则后，设置探究栏目“向量减法的几何意义是什么？”；在讨论向量数乘运算时，先提出“已知非零向量4，作出a十十a和（一9）十C一a）十（一a）它的长度和方向分别是怎样的？”：在讨论余弦定理时，设置探究栏目“在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，C，怎样用a，6和C表示c?”这样的问题设计有利于学生从物理、几何、代数等角度思考和解答问题，提升他们的数学学科核心素养181普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册
六、本章教学建议1.注重与实际的联系在向量内容的教学中，要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情境。例如，在引言中通过位移说明学习向量知识的意义，在6.1节再以速度、力为实际背景素材，说明它们都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的概念；又如，从位移的合成、力的合成引人向量加法法则；再如，从力的分解引出平面向量基本定理。通过这些实例使学生了解向量内容的物理背景，理解向量内容另外，要引导学生应用向量解决物理问题，应用解三角形解决测量等问题，让学生在解决实际问题的过程中把握本章内容与实际的联系，提高解决实际问题的能力2.注重运用向量的几何表示要借助几何直观呈现向量内容，将向量的几何表示贯穿向量的概念、运算、应用的全过程，在引人概念、建立运算体系、展示应用各环节利用图形理解和解决数学间题，从而帮助学生理解向量内容，运用向量内容解决间题，提升学生的直观想象素养在引出向量概念后，要利用有向线段给出向量的几何表示，为学生建立起理解和运用向量内容的背景支持，在引入平行向量、相等向量与共线向量的概念时要给出图示，便于学生直观理解这些概念在向量运算内容的教学中也要借助图形直观展开内容，例如，结合位移、力的图示描述位移的合成、力的合成，进而借助向量的儿何表示给出向量的加法法则，在定义向量的减法后，指出向量减法的儿何意义通过借助几何直观探究a十a十a和（一a十（一a十（一a）的长度和方向，引人向量的数乘运算：借助向量的几何表示给出向量的夹角的概念；通过几何直观，让学生了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义向量具有明确的几何背景，向量的运算具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决，在解决问题的过程中，要充分利用向量的几何表示这个直观基础。在用向量解决物理问题时，也要充分利用位移、速度、力等的图示，探索和形成解题思路.3.注意与数及其运算的类比向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比使学生体会向量研究中的问题与方法，使向量学习有一个好的思维固着点这样的类比是教学中提高思想性的有效手段，因此在教学中应当予以充分的关注，在本章的教学过程中，应引导学生通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路。联系数及其运算有助于学生把握向量及其运算，例如，在介绍向量加法的运算律时，提示学生数的学习经验：定义了一种运算，就要研究相应的运算律，从而引导学生研究向量加法的运算律，并类比数的加法满足交换律与结合律，让学生探究向量的加法是否也满足交换律与结合律，在介绍向量的减法时，类比数的减法定义向量的减法，在学完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平4.让学生掌握向量运算并加以应用让学生掌握向量运算，有利于提升学生的数学运算素养，并为运用向量解决问题打下基础1第六章平面向量及其应用|19
在教学中，先要借助向量的物理背景与数的运算定义向量的运算，然后在向量运算的定义的基础上研究向量的运算律；在研究运算律的过程中，要引导学生类比数的运算律提出向量的运算律，并运用实数的运算律与儿何的一些基本定理加以证明，由平面向量基本定理引人向量的坐标的概念后，就可以利用向量的坐标进行运算，教学中要让学生体会向量坐标运算的作用，例如，向量可以用表示这个向量的有向线段的起点、终点的坐标刻画，从而这个向量的长度可以用表示这个向量的有向线段的起点、终点的坐标刻画，实际上得出了起点、终点两点间的距离公式，利用向量的坐标运算还可以推出线段的中点坐标公式，以及两角差的余弦公式在介绍向量的应用时，要注意展示运用向量解决问题的思路与方法，提升学生的数学运算素养，例如，在介绍平面几何中的向量方法时，要结合例题总结用向量方法解决平面几何问题的步骤；在介绍向量在物理中的应用时，要结合例题分析用向量方法解决物理问题的思路：在介绍余弦定理和正弦定理时，要指出借助向量的运算探索三角形的边长与角度的关系的思路与方法，并说明如何运用余弦定理和正弦定理解三角形让学生掌握平面向量的运算并加以应用，可以加深学生对平面向量的认识，提升他们的运算素养，也为他们在选择性必修课程中掌握空间向量的运算并加以应用起到了示范作用5.让学生经历本章中各项内容的形成发展过程为让学生从整体上把握本章内容，应让学生经历本章中各项内容的形成发展过程，体会其中蕴含的研究数学对象的思路和方法，例如，让学生经历余弦定理、正弦定理的引入、证明、应用的过程三角形全等的判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的，在本章中，可通过探讨三角形的其他元素与给定的某些元素的数量关系引入余弦定理、正弦定理在本章中，要利用向量的运算证明余弦定理、正弦定理，以推导余弦定理为例，要引导学生分析如何借助向量的运算探索三角形边长与角度的关系。这里讨论的是已知两边及其夹角求第三边的问题，设CB=a，CA-b，AB=c（教科书图6.4-8），则向量c就可以用a，b表示，从而c的长度可以用a，b的长度及a，b的夹角的余弦表示，即第三边可以用已知两边及其夹角的余弦表示，得到余弦定理，通过上述证明过程让学生体会从形到向量，借助向量运算解决问题，从向量到形的“三步曲”，培养学生利用向量运算解决问题的能力在本章中，要让学生类比解直角三角形及其应用，利用余弦定理、正弦定理计算三角形的边长与角度，解决测量等问题，让学生体会这两个定理在解三角形及解决实际问题中的作用这样，让学生掌握本章各项内容的来龙去脉，有利于学生理解和掌握相应的内容，从而获得“四基”，增强“四能”，提升数学学科核心素养20|普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册
教科书分析1章引言及章头图向量具有丰富的物理背景，教科书在章头配置了一幅小船位移的图片，图中还给出了小船位移的图示，标明小船位移的大小和方向：在章引言中，教科书首先结合章头图说明生活中有一科不同于数量的量向量，其特点是既有大小又有方向，并进一步指出力、速度、加速度也具有上述特点，让学生对向量有初步的体会；接着，教科书指出了向量的地位和作用；最后说明本章的主要内容，章引言的学习，可以帮助学生对平面向量的内容、结构、研究过程与方法等有一个初步的整体认识6.1平面向量的概念一、本节知识结构框图向量的几何表示实际背景向量的概念零向量与单位向量相等向量与共线向量/二、重点、难点重点：向量的概念，向量的几何表示，相等向量和共线向量的概念难点：向量的概念和共线向量的概念三、教科书编写意图及教学建议本节主要通过物理中的位移、速度、力等抽象出数学中的向量，并类比实数的几何表示，以及物理学中位移的表示方法，用有向线段表示向量，进而通过向量之间的关系来认识相等向量与共线向量.6.1.1向量的实际背景与概念位移是既有大小又有方向的量，是物理学中的基本量之一，位移表示的两个点之间的相对位置关系也是几何研究的重要内容，物理学中用位移表示物体（质点）的位置变化，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另一点的位置，位移简明地表示了两个点的位置之间的相【第六章平面向量及其应用丨21