实函数的向实代函实函方实数A数数数恭角数程导数和系系式系5系系积分数数形坐标方法下坐标方法下结用三角用向量函数用微积分方用代数方法合函数解方法研与曲线研究直线，法研究平面三角形究几何曲线圆锥曲线平面平面立体一般平圆锥一般平几何几何几何曲线面曲线面曲线6.概率与统计统计概念与方法，例如随机抽样、统计图表、概率概率论是研究随机现象规律的科用样本估计总体、线性相关关系以及基于列联学，是统计学的理论基础。概率是一种度量，表的独立性检验等.用来度量随机事件发生的可能性大小，这和数统计学虽然放在数学课程中，但它与数学学中其他的度量相类似（例如直线的长度、平是有差别的，首先，数学的研究建立在概念和面图形的面积、空间几何体的体积等），性质定义的基础上，用公理化方法来构建数学的理也类似但是两种度量之间存在如下区别：论大厦，而统计学的研究则建立在数据的基础（1）作为概率的这种度量的值的范围是上，是通过数据进行推断的；其次，数学推理[0，1]，几何中的度量却不受这种限制；要依据逻辑规则，采用演绎推理得出必然正确（2）概率的度量对象是随机事件，几何中的结论，而统计推理主要依据历史经验（虽然的度量对象是几何图形，随机事件的不确定性也要顾及逻辑规则，采用归纳推理进行推断，使概率的度量难度大大增加其结论具有或然性：最后，数学的结论是确定在中学阶段，借助古典概型引人样本空间性的，其判断标准是“对与错”，而统计的结概念。样本空间是样本点的集合，它是概率理论是带有或然性的，所以其判断标准是“好与坏”论中的最基本而主要的概念，由此可以运用确定性数学的知识和方法研究随机现象，例如，7.补遗利用它可以刻画随机事件发生的背景，定义和最后，作为补充，提出几点想法，它们是计算随机事件的概率，研究概率的运算法则和把不同内容串联起来的一些细线，有了它们，性质等不同内容的类比、联系就容易了，统计统计是研究如何合理收集、整理、（1）数和数的运算是一切运算系统的标分析数据以及由数据分析结果作出决策的科兵，让任意运算的对象和数类比，让任意对象学，它的理论基础是概率论。统计为人们认识的运算和数的运算对比，不仅能使我们获得需客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的要研究的问题，而且能指引我们构建研究的路方法：在义务教育阶段主要是学习描述性统径，使我们产生研究方法的灵感计，它不考虑数据的随机性；高中阶段主要学（2）函数观点是把不同对象联系起来的一寸推断性统计，通过真体问题背录了解基本的个好观点，参看函数中学数学及其教学丨7
（3）把遇到的数量关系设法用几何图形表中虽然没有明确的公理体系形式，但在每一次推理时，我们都有明确的推理根据，在这个意示出来：函数的曲线，方程与曲线，实数与直线，复数与平面，向量与有向线段，不等式的义下，我们心目中都有一个“公理体系”，并图象，数据的图象，等，在其中进行推理，这种潜移默化的逻辑结构的（4）把定性的结果变成定量的结果，把存熏陶是中学数学的“灵魂”，是培养学生的理在的东西具体表示出来：参看用三角函数解性思维和科学精神的特有载体，如在概率中，三角形，直线用方程表示出来，直线上的点根据概率的定义，经实验、观察得出概率的一用满足方程的有序实数对表示出来，一元二次系列性质，这些就成了我们建立概率理论体系方程的根用系数表示出来，曲线的切线斜率用的经验基础，我们借助古典概率模型，在引入导数表示出来，等，一直定性的东西得到定量样本点和样本空间概念后，经过演绎推理就可的表示，操作起来就容易多了以得出概率计算公式、运算性质：在立体几何（5）“恒等”变换是只变其形不变其质的中，明确了直线与直线、直线与平面、平面与数学推理，自的是从“好”的形式中看出其本平面之间的平行和垂直的定义，并归纳出一些质，这在数学中经常出现：如一元二次多项式判定定理之后，经推理得出一些性质定理；在分解成一次因式的乘积，代数式的恒等变换，向量中，有了向量的相等定义和运算定义后，三角函数的恒等变换，方程的同解变换，一组根据这些定义推导出了向量运算的运算律：等等.数据的各种不同形式的组合，整数（或一元多项式）的带余除法等，（8）从数学学习、研究过程来看，经常使（6）相等的定义处处都有，我们通过相等用如下的逻辑思考方法：定义说明在所讨论的事物中什么是自己最关心推广的例如，如果两个三角形能够重合放在一T起，就说它们全等，这表明我们只注意三角形类比当前内容类比的形状和大小而对它的位置不感兴趣；两个有1向线段相等是指它们有相同的起点、相同的长特殊化度和相同的方向，但如果对有向线段引入新的相等定义：规定有相同长度相同方向的两个有其中突出显示了联系的观点，通过类比、向线段是相等的，我们就将得到一个新对推广、特殊化等，可以有力地促进我们的数学象向量；在函数的相等和方程的等价中，思考，使我们更有效地寻找出自己感兴趣的问我们都清楚地看到：什么是这些概念中我们最题，从中获得研究方法的启示，例如，关于平关心的，面几何中的向量方法，我们可以有如下的“联（7）逻辑结构编织着中学数学：中学数学系图”：立体几何中的向量方法↑推广几何中的代数方法平面几何中的向量方法几何中的综合方法下特殊化数轴与向量81普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册|
这个图把一些看似距离甚远的内容联系在不到的，必须让他们经历从数学研究对象的获一起，不同的方法相互促进，可以使我们提出得，到研究数学对象，再到应用数学知识解决更多的问题，在更加广阔的思维空间中进行思问题的完整过程。数学对象的获得，既要注重考。例如，我们非常熟悉用代数方法研究圆锥数学与现实之间的联系，也要注重数学内在的曲线，在上述“联系图”的引导下，就会自然前后一致、逻辑连贯性，从“事实”出发，让地提出“能否用向量方法研究圆锥曲线”“能学生经历归纳、概括事物本质的过程，提升数否用综合法研究圆锥曲线”这样的问题学抽象、直观想象等素养；对数学对象的研究，要注重让学生经历以“一般观念”（bigi-三、核心素养导向的数学教学下面我们就数学核心素养融人课堂教学的dea）为引导发现规律、获得猜想，并通过数学的推理、论证证明结论（定理、性质等）的策略和方法，提出一些想法1.数学育人要用数学的方式，要发挥数过程，提升逻辑推理、数学运算等素养：应用学的内在力量数学知识解决问题，要注重利用数学概念原理分析问题，体现数学建模的全过程，使学生学在观察现象、认识事物或处理问题时，“数学的方式”是与众不同的，首先，其目标会分析数据，从数据中挖掘信息等，提升数学建模、数据分析素养.取向是“追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法”，面研究的起点是对面临的具体事以发展学生数学素养为追求，要根据学生的认知规律，螺旋上升地安排教学内容，特别是要物进行数学抽象；其次，数学的思考结构具有系统性、普适性，其“基本套路”大致可以概让重要的（往往也是难以一次完成的）数学概括为“抽象数学对象一探索数学性质一构建知念、思想方法得到反复理解的机会：要以“事识体系”，再次，数学的思维方式具有结构性、实一概念性质（关系）一结构（联系）一应一致性、连贯性，包括：抽象化、运用符号、用”为明线，以“事实一方法一方法论数学学建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断地改科本质观”为暗线，并要强调结合明线布暗线进、推广，更深人地洞察内在的联系，在更天形成基本数学思想和方法的“渗透一明确一应范围内进行概括，建立更为一般的统一理论用”的有序进程，使学生在掌握“四基”、发展等，这是一套严谨的、行之有效的科学方法，“四能”的过程中有效发展核心素养是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程要做到“两个过程”的合理性，即从数学中必须使用的思维方式，最后，数学的表达方知识发生发展过程的合理性、学生认知过程的式具有统一性，使用一套世界通用的符号形式合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素进行交流数学的思考结构、思维方式和符号养的关键点，前一个是数学的学科思想问题化表达正是数学的力量所在，逻辑性强，简明后一个是学生的思维规律、认知特点问题而精确，具有四两拨千斤的功效：数学育人就3.推理是数学的“命根子”，运算是数学的“童子功”是要发挥数学的这种力量2.掌握数学知识是发展数学学科核心素与其他学科比较，数学学科的育人途径有养的前提什么独特性呢？陈建功先生说：“片段的推理，离开知识的理解和应用，核心素养的发展不但见诸任何学科，也可以从日常有条理的谈将成为一句空话，要让学生真正掌握数学知话得之！但是，推理之成为说理的体系者，限识，靠头去尾烧中段、靠大量解题训练是做于数学一科忽视数学教育论理性的原则中学数学及其教学9
无异于数学教育的自杀，”推理和运算是数学堂主旋律，而大量题目又不能反映数学内容和的两个车轮子，因此，数学育人的基本途径是思维的本质，使数学学习越来越枯燥、无趣、对学生进行系统的（逻辑）思维训练，而训练艰涩，大量学生的感受是“数学不好玩”的基本手段是让学生进行逻辑推理和数学运理解数学，就是要把握数学内容的本质，算，要在推理的严谨性和简洁性、运算的正确特别是对内容所殖含的数学思想和方法要有深性和算法的有效性上有要求，这样，学生的理天理解，要对一些具有统摄性的“一般观念”性思维会得到逐步发展，科学精神也能得到很有深人理解并能自觉应用，例如，数学对象的好的培养定义方式（如何定议），几何图形的性质指什4.教好数学就是落实数学学科核心素养么，代数性质指什么，函数性质指什么，概率怎样才是“教好数学”？学生会解各种资性质指什么，等等料上的题目、考试成绩好就算教好了吗？是，理解学生，就是要全面了解学生的思维规但支不全是，基至不是最重要的，从学生的终律，把握中学生的认知特点，例如，面对一个身发展需要看，从落实数学学科核心素养的要数学内容，学生会如何想？学生已经具备的认求看，更重要的是：要以“研究一个数学对象知基础有哪些（包括日常生活经验、已掌握的的基本套路”为指导，设计出体现数学的整体相关知识技能和数学思想方法等）？达成教学性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普自标所需具备的认知基础有哪些？“已有的基适性、思维的系统性的系列化数学活动，引导础”和“需要的基础”之间有怎样的差距，哪学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对些差距可以由学生通过努力自己消除，哪些差象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得距需要在教师帮助下消除？学生喜欢怎样的学研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，习方式？等等，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现理解教学，就是要把握教学的基本规律，实问题，要使学生掌握抽象数学对象、发现和按教学规律办事，例如，对于教学活动的设提出数学问题的方法，要将此作为教学的关键计，关键词是：情境一间题一活动结果，其任务，以实现从“知其然”到“知其所以然”中“情境”是以数学内容的本质和学生的认知再到“何由以知其所以然”的跨越过程为依据设置教学情境，包括生活情境、数一言以蔽之，教好数学就是以数学基础知学情境、科学情境等，“问题”是与情境紧密识、基本技能为载体，使学生在领悟数学基本结合的、从情境中生发的系列化问题，必须满思想、积累数学基本活动经验的过程中，学会足如下标准：①反映内容的本质，②在学生思思考与发现，培养数学学科核心素养.维最近发展区内，③有可发展性，使学生能从5.教师的专业水平和育人能力是落实核模仿过渡到自主提问“活动”是指在情境与心素养的关键问题引导下的系列化数学活动，是学生的独立理解数学、理解学生、理解教学、理解技思考、自主探究、合作交流等，教学的“结术的水平是教师专业水平和育人能力的集中体果”，既要理解知识、掌握技能，也要领悟数现，是提高数学教学质量和效益的决定性因学基本思想、积累数学思维和解决问题的经素，也是有效提升学生数学核心素养的关键验，从而水到渠成地使学生的数学学科核心素当前最主要的问题是有些教师在“理解数学”养得到提升与发展上不到位导致教学偏差，机解题训练成为课理解技术，就是要懂得如何有效利用技术10|普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册
帮助学生的学和教师的教。例如，把抽象内容就是这样的基本方法，中学数学中的研究对象可视化，静态内容动态化，繁杂但没有数学思多种多样，但研究的内容、过程和方法是一脉维含金量的事情让信息技术帮忙做等：在人工相承的，正所谓“研究对象在变，研究套路不智能时代，我们要借助技术改变课堂生态，实变，思想方法不变”因此，每一种数量和数现大面积的个性化教学，实现优质资源共享量关系、图形和图形关系的教学，我们都应以以上我们从几个方面阐述了数学课堂落实“研究一个数学对象的基本套路”为指导设计数学学科核心素养的条件、策略和方法，其最和展开课堂教学，促使学生通过一个个数学对核心的观点是数学育人要回归数学的学科本象的研究，体悟具有普适性的数学思想和方质，不搞花架子，实实在在地把数学教好，实法，逐步掌握解决数学问题的那个“相似的方现“用数学的方式育人”事实上，所有的科法”，进而逐步形成“数学的思维方式”在这学问题在本质上都是简单而有序的．人类的智样的过程中，数学学科核心素养就潜移默化慧表现在用简单的概念阐明科学的基本问题，润物无声地得到落实了用相似的方法解决不同的问题，而数学的方法让我们一起努力！中学数学及其教学|11