事物的本质、关系和规律，”这一表述阐明了展理性思维和科学精神为落脚点，为了建立数数学与天自然及人类社会的天然联系，数学是学学科核心素养与数学课程及其教学的内在联表达宇宙空间本质的工具，同时，数学最本质系，充分发挥数学课程和教学在全面贯彻党的的特征是逻辑的严密性，其中蕴含着讲规则、教育方针、落实立德树人根本任务、发展素质重证据、依逻辑、实事求是、严谨求实的科学教育等方面独特的育人价值，《标准（2017年精神与为人品格，这样，数学不仅有理解和表版）》给出数学学科核心素养，明确了学生达现实事物的本质、关系和规律以及发展学生学习数学课程后应达成的正确价值观、必备品理性思维的工具属性，也有鲜明的科学精神、格和关键能力，并围绕数学学科核心素养的落为人品格等价值观念属性，所以，数学教育必实，精选、重组了教学内容，提出了以核心素然是工具性和价值观的统一体，体现数学教育养为导向的数学教材编写、数学教学以及考试本来面目的数学课堂教学必然是“德智融合”评价的新要求，强调数学教学要更加关注数学的，科学精神的培育是自然而然地融人在“四学科思想、数学思维方式等，要努力克服重教基”“四能”的教学中的，也就是说，如果课书轻育人的倾向，因此，落实数学学科核心素堂教学没有把育德和育智紧密结合起来，那么养的前提是教师理解中学数学内容：关键是理就没有完整体现数学教育的真谛，解内容所反映的数学思想方法，以及在研究数理性思维得到良好发展的具体表现是：能学对象中所采用的思维方式抓住纷繁复杂事物中的关键要素，善于发现事下面我们以《标准（2017年版）》必修物的本质、关系和规律；善于返璞归真、精中和选择性必修中的内容为主体，将中学数学教科书中的内容编织成为一个知识图谱，以便大求简、以简驭繁，能在一般观念指导下思考和解决问题：对自已的判断和选择有清晰且自觉家对它有一个脉络清晰、重点突出的理解这的认识，能有理有据、前后一致、逻辑连贯地里的知识图谱是显示数学知识发展进程与结构阐明观点，善于透过现象看本质，识破似是而关系的一系列图形，可以帮助大家运用系统思非的诡辩，形成重论据、有条理、合乎逻辑的维，从整体性、联系性、层次性等角度去分析思维品质，养成以理服人的行为习惯，和把握中学数学内容总之，符合立德树人要求的数学教育，就1.中学数学的研究对象是要充分挖掘和利用数学课程内容所蕴含的育对于“什么是数学”“数学的研究对象有人资源，发挥数学在形成人的理性思维、科学哪些类型”等问题的回答，可以有不同观点，精神和促进人的智力发展中的独特作用，用数可以从不同角度给出回答.《标准（2017年学的方式开展育人活动，使学生在掌握“四版）》延续了恩格斯的观点，认为“数学是研基”、提高“四能”的过程中，学会有逻辑地、究数量关系与空间形式的一门科学”这样，创造性地思考，形成数学的思维方式，发展理数学的研究对象有的可以纳人较单纯状态的性思维，养成科学精神，成为善于认识问题、“数量关系”或“空间形式”，有的可以纳人两解决问题的人才者融合状态的“数形结合”概率与统计当然二、理解中学数学也可以纳入上述三条主线中，但概率与统计是从上所述可见，深化数学课程改革，就是研究不确定现象的，其他中学数学则是研究确要以立德树人为根本，以数学学科核心素养为定现象的，若把后者称为确定性数学，则概率目标导向，培养“四基”“四能”为手段，发与统计是以确定性数学为工具来研究不确定现21普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册|
象的数学，所以概率与统计应放在一个独立的就自然地成为数学的基本语言，并且从这里我位置上：在中学阶段，集合与常用逻辑用语都们还会看到和相信，为什么数学的研究成果，是刻画事物的语言和工具，因此应该作为学习数学的研究思想、方法等都有可能在其他理论所有内容的基础。中派上用场，得到广泛应用2.集合与常用逻辑用语常用逻辑用语数学的最重要特征是它的集合只要研究问题，就有研究对象，这严谨性，这种严谨性是由一系列表示关系的逻些研究对象都是数学中的元素一方面，把辑术语把表示概念的名词连接在一起而体现些元素放在一起作为一个整体看待，就形成一的，由此，从条件到结论，清清楚楚、明明白个集合，因而元素、集合是处处存在的．另一白，不会产生歧义，而且能被其他人理解，数方面，从有关自然数的Peano公理，以及关于学的表达方式是全世界数学家都认同和遵守欧氏几何的公理体系可以看到或感觉到，无论的：数学语言是世界通用的，逻辑用语是数学是“数量关系”“空间形式”中涉及的对象和语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工概念，还是“数形结合”中遇到的对象和概具，是数学严谨性与准确性的基本保证，是逻念，都能用集合论的语言（元素、集合、属辑思维的基本语言，于、子集、映射等）给出它们的定义，在这个3.数量关系“数量关系”所涉及的内容可概括为如下意义上，可以说数学研究的很多对象都是元素结构图：间具有某些关系的集合，这样，集合论的语言方程不等式实数系代数式幂函数多项式函数数量指数函数函数的导数函数关复数系对数函数系三角函数向量系数列实数系实数及其运算和大小关系，实数们有代数基本定理（每一个复系数一元n次多是度量大小的绝好工具，实数系是一切具有运项式至少有一个复数根，其中n为正整数）算的体系的标兵，任何具有运算的体系中的内向量系向量及其运算，直线上向量的坐标是一个实数，平面中向量的坐标是实数对容、方法与思想，都能在与实数系的类比中得到启发（，y），空间中向量的坐标是三实数组复数系复数及其运算，复数由实数扩张（，y，z).在这个意义上，向量可以看作是而得，是人类能创造出的最大，最佳数系，这实数的一种推广。此外，在历史上，复数（a+bi)曾被推广到四元数（a+ai+yj+是因为：把复数系再扩张时，就不再存在像复数系这样方便而完美的运算了。对复数系，我zk)，而其中的ryj十之k被发展成现在的向中学数学及其教学3
量，从这里看到，向量的确是“数”（即四元刻画了一个变量随着另一个变量的变化状态，数）的一部分，当然，在谈论向量时永远记住给出一个数集到另一个数集的对应关系：它是覆盖面广、有统师作用的概念：数可以看成特它的物理、几何背景（位移、力·有向线段等）.殊函数，数的运算可以看成特殊的二元函数；代数式可以容易地被改造成一个函数；数列是在研究几何时，作为工具，向量系和实数特殊的函数：解一元方程就是求一个函数的零系有异曲同工之妙，点，因而解方程也可纳人函数问题的讨论中；代数式用字母代表数，我们有了变量平面曲线在历史上曾为函数概念提供最初的例a，b，c，，y，等。数和变量一起运算的子，而今天函数和曲线具有人和影子一样的密结果，我们得到代数式，代数式之间也有加、不可分的关系；解三角形可化归为一个三角函减、乘、除等运算，这样就有了代数式及其运数的问题算，代数式及其运算可看作是数及其运算的一幂函数、多项式函数、指数函数与对数函数种推广，它大大拓宽了运算对象的范围，代数这几类函数都有明确的现实背景，形式简单学的根源在于代数运算，面运算律则是整个代性质明显而且应用广泛，通过对客观世界中变数学的基础，在研究代数问题时，我们往往通量关系和规律的抽象，可以得到这些类型的函过运算来归纳地发现、定义和证明数。另外，令变量y等于含变量的代数式P方程令两个含变数的代数式相等便得到(），即y=r），就得到a的函数y，这是方程方程是变量间数量关系的直接体现，而人们知道的第一批函数中的一类，其中最简数和代数式是不可缺少的准备，由算术到代数单、最基本的就是幂函数、多项式函数、指数的转化，我们可以看到方程、代数式及其运算函数及其反函数（即对数函数）.对于形如的力量和美妙ab=c，a=c的代数等式，让其中的一个量不等式把方程中的“一”换成实数系所随另一个量的变化而变化，可以得到y=k，特有的“”（或“<”）便得到不等式，因ky=a"，y=a，y=log等基本初而两者有类似的地方，如解方程要利用等式的V性质进行等价变换，解不等式也要利用不等式等函数，我们发现，没有任何现实背景，从纯的性质进行等价变换，而“等式的性质”和粹的代数运算，加上量与量之间的对应思想，“不等式的性质”都有“可传递性”，都是“运也可以抽象出基本初等函数这样重要的数学研算中的不变性、规律性”由函数观点，方程究对象f(a）=0的解可以看成是函数y=f（a）的零数列数列及数列的运算。在中学只讨论点，而不等式（x）>0的解可看成是函数y最简单、最基本的两类数列：等差数列及等比f（工）取正值的工的全体，另外，两者关系密数列，我们可以把数列想象成数的推广，也可切：与函数的零点可看成是函数值不等于0处以把数列看成是一类特殊的函数，从而可以把的“边界点”类似，方程f（α，y）0可设想等差数列与一次函数作类比，把等比数列与指为不等式f(x，y)>0的“边界”“>”的性数函数作类比，不可忽略的是数列的“影子”质比“”的性质“坏”许多，我们应非常小在中学数学中多次出现：在用有理数逼近无理心地对待不等式数中，在求圆的面积或球的体积中，在指数为函数函数及函数的运算（十、一、X）.无理数时的指数定义中，在求函数的导数函数源于研究事物运动变化规律的需要。函数中..4|普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册|
三角函数描述周期现象的重要数学模用极限概念“纯数量”地去定义，但在中学里型：为了刻画一些简单的周而复始的运动变化我们强调在实际背景下直观地、实质地去给出现象（如匀速圆周运动），我们以单位圆上点导数的描述，因而我们愿把导数概念看成是数的运动规律为背景引入了任意角的三角函数，形结合的产物，这里，重要的是极限思想，而导数则是借助于极限的一种运算正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动、相辅相成的周期函数，它们的基本性质则是圆从数及其运算、函数及数形结合等角度来的几何性质（主要是对称性）的直接反映三观察中学数学，是弄清中学数学脉络，搞活中角函数是数形结合的产物，在探究三角函数的学数学的三个重要观点。性质和各种各样的三角公式时，借助单位圆的4.空间形式“空间形式”所涉及内容可概括为如下结真观是非常重要而有效的方法：三角函数是非构图：常重要的函数，是描述一般周期函数的基石函数的导数虽然函数f（）的导数可以平面几何圆锥曲线一般平面曲线空间形式立体几何平面几何讨论点，直线，直线的位置关联，因为它们是整个定量立体几何的基础所系（重点是平行与垂直），三角形、四边形在，对于空间图形，只是看看柱面、锥面和球（重点是平行四边形），圆等基本而简单的平面面，从直观上去感知它们的结构特征，凭借最图形的性质，其中尤以三角形为代表三角形简单、最基本的直线、平面的位置关系，以及既简单而又能充分反映空间的本质，例如三角三视图、透视图，使我们获得一定的空间形体的直观感觉形内角和定理所表示的是平面的平行性，而平圆锥曲线平面解析几何的主要对象。在行性在平面几何中所扮演的角色是使定量几何中学，给出它们的几何定义后，便用数形结合中的各种公式都大大简化：等腰三角形所具有的轴对称能具体地反映平面的反射对称性，所的代数方法一“坐标法”来讨论它们，这些以它是研究平面几何对称性的基本工具：定量基本、简单而又很有用的平面曲线使我们对平平面几何中的基本定理，三角形面积公式、相面曲线有了更多的感性认识，同时“坐标法”似三角形定理和勾股定理是首要的，因此，在也为用数形结合的微积分方法去研究一般曲线几何的学习中，必须重视对三角形的研究.平打下了一个很好的基础面几何是进一步用坐标法讨论曲线的基础，平一般平面曲线虽然只在最后时刻用微积面几何在培养学生的直观想象和逻辑推理等素分方法专门过论了它，但在整个中学数学中，养上具有不可替代的作用与函数结伴儿乎出现在所有的地方，想到函数立体几何直线与直线、直线与平面、平概念的无比重要性，对帮助我们形象地看到函面与平面之间的位置关系，基本立体图形数的曲线是非常亲切的。（柱、锥、台、球）的结构特征，特别重要的一般地，几何的研究对象是图形和图形之是空间中的平行和垂直以及两者之间的密切关间的关系，研究主题是几何对象的性质，定义中学数学及其教学丨5
某类几何对象的基本方法是，先通过具体事极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般例，分析组成这类对象的基本元素（点、线、面、体）及其形状和位置关系，然后归纳共定理就可以概括，”这儿个“一般定理就是性，抽象出概念，例如，通过观察具体实物、向量的加法与减法、数乘、数量积的运算及运算规则、几何意义（物理意义），以及向量基模型，得出棱柱表面是由平面图形围成的；这些平面图形中，有两个相互平行，其余都是四本定理及坐标表示，用向量方法研究几何，可边形，而且相邻两个四边形的交线相互平行；概括为“三步曲”：用向量表示出问题中关键将这些共性概括到一般去，就抽象出棱柱的概的点、线、面；进行向量计算得出结果；对所念，所谓几何性质，首先是几何图形组成元素得结果给予几何的解释而将问题解决，需要注之间的位置关系、大小关系：例如，三角形的意的是，向量法是非常灵活的，利用“基”转性质，就是以三角形的要素（三边、三内角）、化为坐标运算仅仅是其中的一种方法相关要素（高、中线、角平分线、外角等）之函数与曲线贯穿中学数学的一对李生姐妹间的相互关系以及几何量（边长、角度、面积等）为基本问题，从“形状、大小和位置关坐标方法下用代数方法研究直线、圆锥系”等角度展开研究；“形状”中，“特例”是曲线用数及其运算为工具，用代数方法研究重点一等腰三角形和直角三角形，凡“特几何，可概括为“三步曲”：用数（坐标）、代例”都有性质和判定两个基本问题，显然，在数式、方程表示出问题中关键的点、距离、直线、圆锥曲线；对这些数、代数式、方程进行这样的一般观念指导下展开研究，对发现儿何图形性质、建立几何知识结构大有神益讨论；把讨论结果给予儿何的解释而将问题解5.数形结合决，值得注意的是，解析几何研究的是几何问用三角函数解三角形参看三角函数题，因此“先用儿何眼光观察，再用坐标法解把几何中的定性定理转化为可计算的定量结决”是基本原则。对圆锥曲线的基本几何特征果，举例说，已知三角形的两邻边a，b及其的认识是有效利用代数法解决问题的基础夹角C，依边角边定理，第三边c完全确定，坐标方法下用微积分方法研究平面曲线因而有函数c=f（a，b，C).如何具体给出用导数和积分为工具，用分析方法研究曲线这个函数？这里引人三角函数以具体表示这个在坐标系下，函数对应曲线，导数就是曲线切函数，编制三角函数值表以使它可计算。线的斜率，积分就是曲线下覆盖的面积。而微用向量法研究儿何用向量及其运算为工积分基本定理把这两个在几何上看不出有什么具，向量法的本质，首先是让儿何量带上符关系的儿何量紧密地联系起来了，微积分是研号．F·克莱因说：“对比把长度、面积、体究曲线的强大工具积考虑为绝对值的普通初等儿何学，这样做有为了醒自，把它们放在下页的框图中61普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册|