广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第三章 多维变量及其分布 3.5 两个随机变量的函数的分布

两个随机变量的函数的分布3.5_(z-x)2.e2dx(dx,Z-2令tt=x得Ofz(z)dte2元2元2/元8即Z服从N(0,2)分布福

x x z x e e d 2π 1 2 ( ) 2 2 2   − − − − =  e e d , 2π 1 2 4 2 2 x z x z   −       − − − = , 2 z 令t = x − 得 f (z) Z t z e e d 2π 1 2 2 4 -t   − − =   4 2 e 2 1 z − = = e . 2 π 1 4 2 z − 即Z服从N(0,2)分布

两个随机变量的函数的分布3.5说明一般,设X,Y相互独立且X～ N(ui,o),Y~N(u2,o2).由(5.4)式经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布,且有Z～ N(μ + μ2, +)有限个相互独立的正态随机变量X1,Xn(X;~N(ui,o;2),i= 1,,n）的线性组合:Y =kiX1+…knXn，仍然服从正态分布，且Y~N(En=1 kiui,En=1 k;?o;?)K

说明 , ~ ( , ), 2 设X Y相互独立且X N μ1 σ1 Y ~ ( , ). 2 N μ2 σ2 由(5.4)式经过计算知Z = X +Y 仍然服 ~ ( , ). 2 2 2 且 有Z N μ1 + μ2 σ1 + σ 一般, 从正态分布

3.5两个随机变量的函数的分布例2 在一简单电路中,两电阻 R, 和 R, 串联连接设R,R，相互独立它们的概率密度均为10-x0≤x≤1050f(x) =其他。0,求电阻R=R +R的概率密度解 由(5.4)式,R的概率密度为fr(z) =[m f(x)f(z-x)dx

解 R的概率密度为 ( ) ( ) ( )d .   − fR z = f x f z − x x 例2 在一简单电路中, 两电阻 R1 和 R2串联连接， , , 设 R1 R2 相互独立 它们的概率密度均为 f (x) , 0 10, 50 10   − x x 0, 其他. 求电阻 R = R1 + R2 的概率密度.    = 由(5.4)式

两个随机变量的函数的分布3.5易知仅当0<x<10,0<x<10,即0<z-x<10.z-10<x<z,时上述积分的被积函数不等于零，参考下图，即得xx=zx=z-10x =10---071020

易知仅当 0  x  10, 0  z − x  10, 0  x  10,  z −10  x  z,      即 时上述积分的被积函数不等于零. 参考下图, 即得 z x O x = z x = z − 10 x = 10 10 20