广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第三章 多维变量及其分布 3.5 两个随机变量的函数的分布

3.5两个随机变量的函数的分布密度分别为fx(x),f,(y)，则(5.1),(5.2)分别化为fx+r(z)= cm fx(z-y)fr(y)d y, (5.3)和 fx+r(z)= [ fx(x)fr(z-x)dx. (5.4)这两个公式称为fx和f的卷积公式，记为fx*fy即fx * fr = fm fx(z-y)fr(y)d y= fm fx(x)fy(z-x)dx.K

f (x), f ( y), 密度分别为 X Y 则(5.1),(5.2)分别化为 ( ) ( ) ( )d , − f + z = f z − y f y y X Y X Y 和 f (z) f (x) f (z x)d x . X Y  X Y − + = − (5.3) (5.4) 这两个公式称为 和 的卷积公式, X Y f f , X Y 记为f  f 即 X Y f  f = − f z − y f y y X ( ) Y ( )d = f (x) f (z x)d x .  X Y − −

3.5两个随机变量的函数的分布证 先来求Z = X + Y的分布函数Fz(z),即有1JFz(z)= P(Z≤z)zJJ f(x,y)dxd y,x+y=zx+ySzZ0这里积分区域G：x+y≤z是x直线x+y=z及其左下方的半平面将二重积分化成累次积分，得Fz() = "["" f(x, y)dx]d y.K

F (z) Z = P{Z  z} = f (x, y)d xd y, x y z  +  这里积分区域G : x + y  z是 半平面. 将二重积分化成累次积分, 直线x + y = z及其左下方的 x y O x + y = z f (x, y)d x d y. z y    − − − = 得 F (z) Z 证 Z X Y F (z), 先来求 = + 的分布函数 Z 即有

两个随机变量的函数的分布3.5JZx+y=zu=zu=x+yZZ福uxK

x y O x + y = z y O

两个随机变量的函数的分布3.5固定和对积分f(x,J)dx作变量变换，令x=u-y,得"-" f(x,y)dx= J" f(u- y,y)du于是Fz(z) = "[" (u- y,y)du]d y="[f(u- y,y)dy]du.由概率密度的定义即得（5.1)式.类似可证得(5.2)式大

固 定 和 对积分 作变量变换， − − z y z y f (x, y)d x 令 x = u − y, 得  − − − = − z y z f (x, y)d x f (u y, y)du 于是 f u y y u y z ( , )d d    − − FZ (z) = − = f (u y, y)d y du. z −   − − 由概率密度的定义即得(5.1)式.类似可证得(5.2)式

3.5两个随机变量的函数的分布例1设X和Y是两个相互独立的随机变量.他们都服从N(O,1)，其概率密度为1fx(x) :=8<x<+8,2元Vfr(y) =18<y<+8,2元求Z=X+Y的概率密度解 由(5.4)式 fz(z)= / fx(x)fy(z-x)dx,K

例1 设X和Y是两个相互独立的随机变 量. 他们都服 e , 2π 1 ( ) 2 2 x fX x − = e , 2π 1 ( ) 2 2 y Y f y − = −   y  +, −   x  +, 求Z = X +Y的概率密度. 解 由(5.4)式 f (z) f (x) f (z x)d x, Z  X Y  − = −