《数值计算方法》第八章 常微分方程数值解法

向后Eule方法收敛条件与截断误差 V=y Xn,y k+ ym=y+hf(xn+,ym)k=0, 1, 2, hfIx n+12ym+1 frumpy sh1,) 收敛条件0<h<1 n+1 V,41 局部截断误差Tm=O(h),整体截断误差, 当0<hL<1时:O(h)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 0 1 k k k k n n n n n n k k n n h f f hL hL y y y y x x y y + − + + + + + + − + + = −  −   − 收敛条件 ( ) ( ) 2 1 0<hL<1 n O O h 局部截断误差 ，整体截断误差， T + = h 当 时： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 , 0,1,2, 1 , n n n n k k n n n hf hf k n y y y x y y y x + + + +  = +    + = +  = 向后Euler 方法收敛条件与截断误差

向后Euer法的稳定性 对y=y用向后Eer法:yn=y+hy 误差公式:p=p+hp 贝 =h1-1-a -h(2+x)+n2x) 1-2R2(h)+h 只要R(A1)<0则P 因此向后 Euler法是A-稳定的。但收敛 要求0<<1,h仍受限制

向后Euler 法的稳定性 y yn yn yn y Euler h 1 1 / + + 对 =  用向后 法： = +   1    1 + + = + n n n 误差公式： h ( h)( h) h n n      − − = − = + 1 1 2 1 1 1 1 1 则 ( ( ) )       + − + − + = =      2 2 2 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 1 1 R h h h h e n 1 n ( ) 0 1 h Re    + 只要 则   要求 仍受限制。 因此向后 法是 稳定的。但收敛 0 hL 1,h Euler A   −

三、梯形公式 由积分途径:y(xm)=y(xn)+∫f(x,y f(, y) 积分用梯形公式,且令:y=y(xn)y=y(x) 则得:y 2((x,y)+/(x,y.) n+1 同样与 euler法结合,形成迭代算法,对n=0,1,2, =y,+/(x,y) (k+1) V=y 彡× n+15 k=0,1,2

三、梯形公式 ( ) ( ) ( ) 1 1 , n n n n x y y f x y dt x x x + + = + 由积分途径：  ( ) ( ) y y ( ( x y ) ( x y )) y x y x n n n n n n n n n n f f h y y 1 1 1 1 1 , 2 , , + + + + + = + + = = 则得： 积分用梯形公式，且令： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ( ))     = + + = = + = + + + + +   f f k , , , h hf Euler n y y x y x y y y x y k n n n n n k n n n n n , 01 2 2 01 2 1 1 1 1 0 1 , , 同样与 法结合，形成迭代算法，对 ，，， ( , ) dy f x y dx （ ） =

梯形公式的收敛性 由迭代算法,对n=0,1,2, lyo=,+hr(xo,y) y k=0,1,2, n+1 n+1 (k) h k y n+1 2 +1 n+12m+1 hL|(k)(k-) 收敛条件0< hL < n+1 梯形公式比EM法的局部与总体误差均高一价,en=0(h 但每次迭代均多算一次函数值一提高精度的计算代价

( ) 2 0 N 梯形公式比 法的局部与总体误差均高一阶， ， Euler e h = 但每次迭代均多算一次函数值—提高精度的计算代价。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 0 1 2 , 0 1 2 2 , , n n n n k k n n n n n n n hf h f f k , , , y y y x y y y y x x + + + + + =  = +      = + + =      由迭代算法，对 ，，， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 2 0 1 2 2 k k k k n n n n n n k k n n h f f hL hL y y y y x x y y + − + + + + + + − + + = −  −   − 收敛条件 梯形公式的收敛性

梯形公式的稳定性 Dm=y,+((xn,,)+5(xm y,D) h 对y=y用梯形公式:yn=yn+(yn+m h m-O 2 h 1+R()+h22 n+1 h 1-R()+h214 当R()<0时≤,梯形公式是A-稳定的

梯形公式的稳定性 ( )             − + + + = − +  = = + + + + +              2 2 2 2 4 1 1 ( ) 4 1 1 ( ) 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 R h h R h h e e h h h n n n n n n ( ) 0 1 A - 当  时 +1  ，梯形公式是 稳定的。    n n Re h ( ( ) ( 1 )) 1 1 , 2 , n n n n n n h y y y y + + f f x x + = + + / 1 1 2 n n n h y n y y y   y y + + 对 用梯形公式 ： ） = = + （ +