§4埃尔米 特插值 问题的提出: 不少实际问题不但要求在节 点上函数值相等,而且 还要求它的导数值也相等(即要 求在节点上具有一阶光 滑度),甚至要求高阶导数也相 等,满足这种要求的插值 多项式就是埃尔米特( Hermite 插值多项式。下面只讨 论函数值与导数值个数相等的 情况
§ 4 埃 尔 米 特插值 问题的提出： 不少实际问题不但要求在节 点上函数值相等，而且 还要求它的导数值也相等（即要 求在节点上具有一阶光 滑度），甚至要求高阶导数也相 等，满足这种要求的插值 多项式就是埃尔米特（Hermite） 插值多项式。下面只讨 论函数值与导数值个数相等的 情况
数学描述: 设在节点 <x。<x,<∴<x<b yi=f(x) m1=f(x,)(j=0,1 要求插值多项式H(x), 满足条件 H(x,)=y,H(x)=m1(=0,13…,m) 求解的思想: 这里给出了2n+2个条件, 可唯一确定一个次数不 超过2M+1的多项式
数学描述： 设在节点 a x0 x1 xn b 上， ( ) j j y = f x ， ( ) ( 0, 1, , ) m f x j n j j = = ， 要求插值多项式 H (x) ， 满足条件 H(x ) y , H (x ) m ( j 0, 1, , n) j = j j = j = 求解的思想： 这里给出了 2n + 2 个条件， 可唯一确定一个次数不 超过 2n +1 的多项式
H2n1(x)=H(x),其形式为 H2n+1(x)=a0+a1x+…+a2n 如根据上面的条件来确定 2n+2个系数a0,a1,…,a2m+1, 显然非常复杂,因此,我们仍采 用求拉格朗日插值多项 式的基函数方法。 先求插值基函数(x)及 B(x)(=0.1,…,m),共有 2n+2个,每一个基函数都是 2n+1次多项式,且满足条件
( ) ( ) 2 1 H x H x n+ = ，其形式为 2 1 2 1 0 1 2 1 ( ) + + = + + + + n n n H x a a x a x ， 如根据上面的条件来确定 2n + 2 个系数 0 1 2 1 , , , a a a n+ ， 显然非常复杂，因此，我们仍采 用求拉格朗日插值多项 式的基函数方法。 先求插值基函数 (x) j 及 ( ) ( 0, 1, , ) j x j n = ，共有 2n + 2 个，每一个基函数都是 2n +1 次多项式，且满足条件
a (xk=8 j0.j≠k d(xk=0 6(x)=0,B1(xk)=6k(元,k=0,1 于是满足 Hermite插值条件的插 值多项式H(x)=H2m+(x)可 写成用插值基函数表示的形式 2n(x)=∑Dy(x)+m月(x) 由所要构造的基函数满足的 条件,显然有H2m(xk)=yk, H2m:(x)=mk,(k=0,1…,m)。下 面的问 题就是求满足条件的基函数
0, , ( ) ( ) 0, 1, , ( ) 0, ( ) ( , 0, 1, , ), j k jk j k j k j k jk j k x x j k x x j k n = = = = = = = 于是满足 Hermite插值条件的插 值多项式 ( ) ( ) 2 1 H x H x = n+ 可 写成用插值基函数表示的形式 ( ) [ ( ) ( )]. 0 2 1 H x y x m x j j j j n j n = + = + 由所要构造的基函数满足的 条件，显然有 n k k H x = y + ( ) 2 1 ， ( ) , ( 0, 1, , ) 2 1 H x m k n n+ k = k = 。下 面的问 题就是求满足条件的基函数
a(x)及B(x)。 确定基函数: 可利用拉格朗日插值基函数 1(x) X-x x X -X )) X-x X -X 0 X-x +1 +1 a, (x)=(ax+b)l() 其中(x)是拉格朗日插值基函 数。由要构造的 Hermite 插值基函数条件有 a(x,)=(ax1+b)(x)=1
(x) j 及 (x) j 。 确定基函数： 可利用拉格朗日插值基函数 l (x) j 。 0 1 1 0 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) j j n j j j j j j j n x x x x x x x x l x x x x x x x x x − + − + − − − − = − − − − 令 ( ) ( ) ( ), 2 x ax b l x j = + j 其中 l (x) j 是拉格朗日插值基函 数。由要构造的 Hermite 插值基函数条件有 ( ) ( ) ( ) 1, 2 aj x j = ax j + b l j x j =