总体方法误差(2) y n+1 y(x)+hf(xr(x))-yhf(x, y) n+1 y(x)=y1+h/(x, (x,)-/(x, y, (由LE条件)(1+M)y(x)-y=(1+Mlen emsT+(+h)e对一切n成立 对取定N,由 yIro-y esT+(l+hL)exsT+(1+hL)T -+(1+hL) 2p N ≤TA+(+ML)Tx4+(1+)72+…+(+L)T
总体方法误差(2) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 1 1 ~ , , y , , 1 (1 ) n n n n n n n n n n n n n n n n n y hf y hf h f y f Lipschitz hL y hL y y y y x x x x x x x x y y x e y + + − = + − − − + − 由 条件 + − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 1 2 1 2 1 1 2 1 1 n N 0 1 1 ( 1 ) 1 1 1 n n n N N N N N N N N N N hL y hL hL hL hL e e T e x y e e e T T T T T T T hL hL + + − − − − − − + + = − = + + + + + + + + + + + + + 对一切 成立。 对取定 ，由 ， 则：
由局部截断误差Tm=O(h),则 e=7k+(+h)Tn+…+(1+L)7 2(1+hL)=0(1)2(1+h) (1+hZ) 2)=O(h) 1h-1 oh lim(1+hL h→>0 N=lim(1+hl lim(1+hL)hL L(xN30=<(x-x)与步长h无关常数 Euler方法以Oh)速率收敛:h→>0,e、→0
( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 n N N n O N hL T h e T T T − hL = − + + + + + 由局部截断误差 ，则 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 0 1 1 N N N K k k k k hL hL T O h − − − = = = = + + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 N O O h hL hL h − = = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 [ ] 0 lim lim 1 1 lim 1 N h h L h x x N N h L x x x x N h hL hL hL hL e → → − → − = = = − + + + 与步长 无关常数 ( ) →0, e →0. Euler 方法以O h 速率收敛：h N
4、微分方程数值解的稳定性 稳定性分析,对计算误差:p1=y n+1 其中y是y的近似计算值,误差积累会淹没真值? 定义:一种数值方法求解模型方程y=λy,其中λ是复常 数。对给定的步长h>0,若计算误差p在计算ynk (k=12,)时不产生增大的误差,即pn≤P,称对h与 这种方法是绝对稳定的。 对λ,h的允许范围内是绝对稳定的 则称绝对稳定区域
4、微分方程数值解的稳定性 其中 是 的近似计算值，误差积累会淹没真值？ 稳定性分析，对计算误差： 1 * 1 * 1 1 1 y y y y n n n n n + + + + + = − ( ) ' n n k n+k n = , 0 1 2 h y y y h k + = 定义：一种数值方法求解模型方程 其中 是复常 数。对给定的步长 ，若计算误差 在计算 ，， 时不产生增大的误差，即 ，称对 与 这种方法是绝对稳定的。 则称绝对稳定区域。 对 ，h的允许范围内是绝对稳定的
Euler法的绝对稳定区域 y=y的 Euler算法: In(λh) V=y +入h 计算值:yn=y,+Mhy R (Ah) 误差方程:p=p+mpD 从而p/p=1+Mh 当1+Ah≤1是绝对稳定区域 绝对稳定区域越大,h可选大些,方法适应性越强。 如果整个左半平面是绝对稳定区域称A-稳定的
Euler法的绝对稳定区域 * n * n * n n n n / y y y y y y y h h y Euler = + = + = + + 计算值： 的 算法： 1 1 n n n = + h +1 误差方程： 当 是绝对稳定区域 从而 1 1 1 1 + = + + h h n n 如果整个左半平面是绝对稳定区域称 稳定的。 绝对稳定区域越大， 可选大些，方法适应性越强。 A − h Im (λh) -2 -1 0 Re (λh)
二、向后(后退的) Euler方法 用向后差商:y(xm)≈ y(Xn+-y(X h 则隐式算法:{y2=y+机(xy) 为避免解非线性方程,与Eer法结合 ∫y”=y.+/(x,y y)=y+/(xm,y")k=02
二、向后（后退的）Euler 方法 ( ) , ( ) ( ) 1 1 n n n y y h x x y x + + − 用向后差商： ( ) ( ) = = + + + + x y y y x y y hf n n n n 0 0 1 1 1 , 则隐式算法： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = + + + + + + = hf k , , , hf , Euler y y x ,y y y x y n k n n k n n n n n 01 2 1 1 1 1 0 1 为避免解非线性方程，与 法结合：