4)三维实正交群O\3:所有三维实正交矩阵构成的连续群. 群元由3个实参数标记.群元满足正交条件 OO=O0=E O3保持实二次形x2+x2+x2不变 三维实特殊正交群SO(3:所有行列式为+1的3维实正 交矩阵构成的连续群,群元由3个实参数标记. SO(3)={O∈O(3)de(O)=1} SO3群对应于三维实空间保持原点不变的三维转动 群,群元为转动矩阵C(),由三个实参量0Vπ, 0θπ,0φ<2π来表征.三阶紧致简单李群 三维实正交群O3=SO(3∞{E,}.由行列式分别为±1的互 不连通的两叶构成,其参数空间包含两个互不连通的区 域,是三阶紧致混合李群
4) 三维实正交群O(3): 所有三维实正交矩阵构成的连续群. 群元由3个实参数标记. 群元满足正交条件 三维实特殊正交群SO(3): 所有行列式为 +1 的3维实正 交矩阵构成的连续群, 群元由3个实参数标记. t t O O OO E = = O(3)保持实二次形 222 1 2 3 xxx + + 不变 SO O O O (3) { (3) | det( ) 1} = = SO(3)群对应于三维实空间保持原点不变的三维转动 群,群元为转动矩阵 , 由三个实参量0 , 0 , 0 <2 来表征. 三阶紧致简单李群. ( ) k C 三维实正交群O(3)=SO(3){E,I}. 由行列式分别为1的互 不连通的两叶构成, 其参数空间包含两个互不连通的区 域, 是三阶紧致混合李群
42转动群SO(3)与二维特殊酉群SU(2) ■空间转动群:三维实坐标空间R3保持原点不变的所有转动变 换构成的群,对应于特殊实正交矩阵群SO(3) SO(3)群的参数化 1)SO(3群的群元可用绕过原点方位角为(,q)的转动轴k的 转过v角的转动变换C1(v)表示在笛卡尔坐标系中,绕三个 坐标轴x,y,z的转动元素分别为 coSy 0 sin y C()=0 cOS y -sin C,(y) 0 sin y cos y siny 0 coS y
■ 空间转动群: 三维实坐标空间R3保持原点不变的所有转动变 换构成的群, 对应于特殊实正交矩阵群SO(3). 1) SO(3)群的群元可用绕过原点方位角为(,)的转动轴k的 转过角的转动变换Ck ()表示. 在笛卡尔坐标系中, 绕三个 坐标轴x,y,z的转动元素分别为 SO(3)群的参数化: 4.2 转动群SO(3)与二维特殊酉群SU(2) 1 0 0 cos 0 sin ( ) 0 cos sin , ( ) 0 1 0 0 sin cos sin 0 cos C C x y = − = −
cosy-Sin y P(x,y) C(y)= sin y coS y 0 (x) 3 x'(rcos(9+u)cosy -siny(x y'rsin(9+v))siny cosy/y 2)SO(3)群的群元也可用三个欧拉角αβ,γ来标记.SO(3)转 动元素由相继三个转动变换生成:(1)绕z轴转α角,O≤α<2π; (2绕新的y轴(y轴)转β角,O≤阝≤π;(3绕新的z轴(z轴)转γ 角,0≤y<2兀.即 R(a,B,r)=C(rCu (B)c-(a C(a)C (rc(aC(a)C, (B)C(a).(a) =C:(a)C,(B)C()C,(-B)C(=a)C:(a)C,(C(-a)C(a) C(aC, (B)C-r
cos sin 0 ( ) sin cos 0 0 0 1 Cz − = ( , ) P x y P x y '( ', ') ' cos( ) cos sin ' sin( ) sin cos x r x y r y + − = = + 2) SO(3)群的群元也可用三个欧拉角,,来标记. SO(3)转 动元素由相继三个转动变换生成: (1) 绕z轴转角,0<2; (2)绕新的y轴(y’轴)转角, 0; (3)绕新的z轴(z’’轴)转 角, 0 <2. 即 '' ' ' ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z y z z z z z y z z z y z y z z y z z z y z R C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C = = − − = − − − =