(二十四)二年级(上)数学分析期末考试题 、叙述题:(每小题5分,共15分) 1正交多项式 2正项级数的比较判别法 3R上的基本列 、计算题:(每小题7分,共35分) dx的 cauchy主值 x In x 3”+(-2) (x+1)的收敛半径和收敛域 4、设二=x2+y2sn(xy),求函数的梯度 5、求u=√x2+y2+2在(1,1,1)点的全微分 讨论与验证题:(每小题10分,共30分) 1讨论∫(x,y)= y4+x2,(x,y)≠(0.0),(x,y)沿任何直线趋于(0,0)时的极 限和函数的二重极限 2讨论∑ 的敛散性 5nnn 3讨论函数项fn(x)=mx(1-x2)”(0≤x≤1)的一致收敛性。 四、证明题:(每小题10分,共20分) x=9为既约分数 1证明 Riemann函数R(x)={p 在[0,1]上可积 x为无理数 2设z=x(x>0,x≠1),证明它满足方程 az 1 az y ax In x ay 参考答案 1、设{gn(x)是定义在[ab上的多项式,若对任意的m和n,gn(x),gn(x)在 小上可且可0m 的正交多项式连续
1 (二十四)二年级（上）数学分析期末考试题 一、叙述题：（每小题 5 分，共 15 分） 1 正交多项式 2 正项级数的比较判别法 3 R n 上的基本列 二、计算题：（每小题 7 分，共 35 分） 1、 4 0 2 tan x xdx 2、计算 2 0.5 ln 1 dx x x 的 cauchy 主值 3、求 = + + − 1 ( 1) 3 ( 2) n n n n x n 的收敛半径和收敛域 4、设 sin( ) 2 2 z = x + y xy ，求函数的梯度 5、求 2 2 2 u = x + y + z 在（1，1，1）点的全微分 三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 30 分） 1 讨论 ,( , ) (0,0) ( ) ( , ) 4 2 2 2 + − = x y y x y x f x y ，（x，y）沿任何直线趋于（0，0）时的极 限和函数的二重极限 2 讨论 =2 ln 1 n q n n 的敛散性 3 讨论函数项 ( ) (1 ) (0 1) 2 f x = nx − x x n n 的一致收敛性。 四、证明题：（每小题 10 分，共 20 分） 1 证明 Riemann 函数 = = 为无理数 为既约分数 x p q x R x p 0 1 ( ) 在[0，1]上可积 2 设 z = x (x 0, x 1) y ，证明它满足方程 z y z x x z y x = + ln 1 参考答案 一、1、设 gn (x) 是定义在 [a,b] 上的多项式，若对任意的 m 和 n ，g (x) m ，g (x) n 在 [a,b] 上可积，且有 = = g x dx m n m n g x g x dx b a n b a m n ( ) 0 ( ) ( ) 2 则称 gn (x) 是 [a,b] 上 的正交多项式连续
2、设∑xn∑yn是两个正项级数,若存在常数A>0,成立xn≤Ayn,n=12…则 (1)当∑y收敛时,∑x也收敛(2)当∑x发散时,也∑y发散 3、如果R上的点列{x}满足:对于任意给定的E>0,存在正整数K,对任意的 k>K,成立x-x<E,则称{x}为基本列 、1、[xtan2xdt=[xsc2xd-(xar=2-x+h2(7分) 432 2、解:(qm)x=0(7分) 3,收敛半径为1/3(4分),由于≈、4时,级数收敛, 42 级数发散,所以级数的收敛域为-3-3)(3分) 4:=2x+y cos(xy)--=2ysin( xy)+xy cos(xy)(4) gradu=(2x+y'cos(xy), 2ysin( xy)+xy cos(xy))(3 Vx2+y+×4 x2+y2+ dh=÷(dx+d+d)(3分) 1、解、由于沿y=kx趋于(0,0)时,m(y2-x)21,m沿y=x趋于 (x灯)0.0)y+x (0,0)时极限为0,所以重极限不存在(5分) 2、函数一非负递减,(3分)且#={0-phxp≠1 (5 分)由此仅p>1,收敛(2分)。 3、lmfn(x)=0=f(x)(3分),取 2
2 2、设 = =1 1 , n n n n x y 是两个正项级数，若存在常数 A 0 ，成立 xn Ayn ,n =1,2 则 （1）当 n=1 n y 收敛时， n=1 n x 也收敛（2）当 n=1 n x 发散时，也 n=1 n y 发散 3、如果 n R 上的点列 xk 满足：对于任意给定的 0 ，存在正整数 K, 对任意的 k,l K ，成立 − l k x x ，则称 xk 为基本列。 二、1、 ln 2 2 1 4 32 tan sec 2 4 0 4 0 2 4 0 2 = − = − + x xdx x xdx xdx （7 分） 2、解： = 2 0.5 0 ln 1 ( ) dx x x cpv （7 分） 1、 ： 3 3 ( 2) lim = + − → n n n n n ，收敛半径为 1/3（4 分），由于 3 4 x = − 时，级数收敛， 3 2 x = − 级数发散，所以级数的收敛域为 ) 3 2 , 3 4 [− − （3 分） 4、： x z = 2 cos( ) 3 x + y xy y z = 2 sin( ) cos( ) 2 y xy + xy xy （4 分） (2 cos( ),2 sin( ) cos( )) 3 2 gradu = x + y x y y x y + x y x y （3 分） 5、 2 2 2 x y z x ux + + = 2 2 2 x y z y uy + + = 2 2 2 x y z z uz + + = （4 分） ( ) 3 1 du = dx + dy + dz （3 分） 三、1、解、由于沿 y = kx 趋于（0，0）时， 1 ( ) lim 4 2 2 2 ( , ) (0,0) = + − → y x y x x kx ，，而沿 y = x 2 趋于 （0，0）时极限为 0，所以重极限不存在（5 分） 2、 函数 x x q ln 1 非负递减，（3 分）且 = = − + + − + ln ln | 1 | 1 (1 )ln 1 ln 2 1 2 2 x p p p x x x dx p p ，（5 分） 由此仅 p 1 ，收敛（2 分）。 3、 lim f (x) 0 f (x) n n = = → （3 分），取
xn=fn(xn)-f(xn)=(1-)→1(m→m),所以函数列不一致收敛(7分) 四、证明题(每小题10分,共20分) 1证明:由 Riemann函数的性质,VE>0在[0,1上使得R(x)>的点至多只有有限 个(3分)不妨设是k个,记为0=P1<…<Pk=1作[0,1的分点0=x0<…<x2k=1=1 使满足P∈x-x1x1-x-22k”1,2,…k,由于 ∑A=∑O21Ax2m1+∑2Axy”,而在右边的第一个和式中,有AxyH<2且 O2s1,在第三个和式中有m5且∑Axy<1,因此得到∑oAx,<E,所以函数 可积(7分) = x Inx(6分) hnx=z(4分) y a In x ay y (二十五)一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分, 共20分) 1、函数∫(x)在[a,b]上可积的必要条件是() A连续 B有界 C无间断点 D有原函数 2、函数f(x)是奇函数,且在[-a,a]上可积,则() A f()dx=2o/()dx B f(x)ax=o c f(x)dx=-2.(x)dx d f(x)dx=2f(a) 3、下列广义积分中,收敛的积分是() Sin x 4、级数∑an收敛是∑an部分和有界的() A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D无关条件 5、下列说法正确的是(
3 n xn 1 = ) 1( ) 1 ( ) ( ) (1 − = − 2 → n → n f x f x n n n n ，所以函数列不一致收敛（7 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1 证明：由 Riemann 函数的性质， 0 在[0,1]上使得 2 ( ) R x 的点至多只有有限 个,(3 分）不妨设是 k 个，记为 0 1 ' ' = p1 pk = 作[0,1]的分点 0 = x0 x2k−1 =1， 使满足 i k k p x x x x i i i i i , 1,2, 2 [ , ], 1 1 ' − − − = ，由于 − = − = + + − = = + 1 0 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 k j k j j j j j k i i i x x x ，而在右边的第一个和式中，有 k x j 2 2 1 + 且 2 j+1 1 ，在第二个和式中有 2 2 j 且 1 1 1 2 − = k j j x ，因此得到 = n i i i x 1 ，所以函数 可积（7 分） 2 证明： −1 = y yx x u ， x x y u y = ln （6 分） x x z x yx y x y z x x z y x y y = + = + − ln ln 1 ln 1 1 （4 分） （二十五）一 年 级《数学分析Ⅱ》期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 2 分， 共 20 分） 1、 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数 f (x) 是奇函数，且在 [−a, a] 上可积，则（ ） A = − a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) B ( ) = 0 − a a f x dx C = − − a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) D f (x)dx 2 f (a) a a = − 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A 1 0 1 dx x B + 1 1 dx x C + 0 sin xdx D − 1 1 3 1 dx x 4、级数 n=1 n a 收敛是 n=1 n a 部分和有界的（ ） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ）
∑a和∑b,收敛,∑a,bn也收敛 B∑a和∑b发散,∑(an+b)发散 C∑an收敛和∑b发散,∑(an+b)发散 D∑an收敛和∑b发散,∑anbn发散 6、∑an(x)在[ab]收敛于a(x),且an(x)可导,则() A∑an(x)=a(x) Ba(x)可导 ∑:00a()一孩收数,则0(0必连续 7、下列命题正确的是( A∑an(x)在[a,b]绝对收敛必一致收敛 B∑an(x)在[ab]一致收敛必绝对收敛 C若m|an(x)0,则∑an(x)在[ab必绝对收敛 D∑an(x)在[ab条件收敛必收敛 8、S(-2n+ x2n+1的和函数为() A b sIn c arctan x D cOSx 9、函数z=l(x+y)的定义域是( A(x, D)lx>0,y>0 B(x,y)ly>-x (x,y)Ilx+y>o) (x,y)lx+y
4 A n=1 n a 和 n=1 n b 收敛， n=1 anbn 也收敛 B n=1 n a 和 n=1 n b 发散， = + 1 ( ) n an bn 发散 C n=1 n a 收敛和 n=1 n b 发散， = + 1 ( ) n an bn 发散 D n=1 n a 收敛和 n=1 n b 发散， n=1 anbn 发散 6、 ( ) 1 a x n n = 在 [a,b] 收敛于 a(x) ，且 a (x) n 可导，则（ ） A ( ) ( ) ' 1 ' a x a x n n = = B a(x) 可导 C = = b a n b a an (x)dx a(x)dx 1 D =1 ( ) n n a x 一致收敛，则 a(x) 必连续 7、下列命题正确的是（ ） A ( ) 1 a x n n = 在 [a,b] 绝对收敛必一致收敛 B ( ) 1 a x n n = 在 [a,b] 一致收敛必绝对收敛 C 若 lim | ( ) |= 0 → a x n n ，则 ( ) 1 a x n n = 在 [a,b] 必绝对收敛 D ( ) 1 a x n n = 在 [a,b] 条件收敛必收敛 8、 = + + − 0 2 1 2 1 1 ( 1) n n n x n 的和函数为（ ） A x e B sin x C arctan x D cos x 9、函数 z = ln( x + y) 的定义域是（ ） A (x, y)| x 0, y 0 B (x, y) | y −x C (x, y) | x + y 0 D (x, y)| x + y 0
10、函数f(x,y)在(x0,y0)可导与可微的关系() A可导必可微 B可导必不可微 C可微必可导 D可微不一定可导 、计算题:(每小题6分,共30分) 1、.f(x)x=4,求[x/(2x2+1)dhx 2、计算 2+2x+x 3、计算∑x”的和函数,并求∑ 4、设= arctan+y,求2xo2yaxy 5、计算mn-y x t y 三、讨论与验证题:(每小题10分,共20分) 2、讨论f(x,y)={x2+y (x,y)≠(0.0) 在(00)点的可导性、连续性和可微 (x,y)=(0,0) 性 3、讨论∑(-1 的敛散性 四、证明题:(每小题10分,共30分) 1、设Sn(x)=,2,证明{S2(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛 2、设z=e”,证明它满足方程 y 4、设f(x)在0连续,证明∫(mxk=万∫/(smx,并求 T xsin x 0 1+cos x 参考答案 、1、B2、B3、A4、B5、C6、D7、D8、C9、B10、C
5 10、函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导 二、计算题：（每小题 6 分，共 30 分） 1、 = 9 1 f (x)dx 4 ，求 + 2 0 2 xf (2x 1)dx 2、计算 + 0 + + 2 2 2 1 dx x x 3、计算 =1 1 n n x n 的和函数，并求 = − 1 ( 1) n n n 4、设 xy x y z − + = 1 arctan ，求 x y z y z x z 2 2 2 2 2 , , 5、计算 2 2 2 0 0 lim x y x y y x + → → 三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分） 2、 讨论 = = + 0 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 x y x y x y x y f x y 在 (0,0) 点的可导性、连续性和可微 性 3、 讨论 = + − 2 2 1 2 sin ( 1) n n n n n x 的敛散性 四、证明题：（每小题 10 分，共 30 分） 1、设 2 2 1 ( ) n x x S x n + = ，证明 {S (x)} n 在 (−,+) 上一致收敛 2、设 y x z = e ，证明它满足方程 = 0 + y z y x z x 4、 设 f (x) 在 [0,1] 连 续 ， 证 明 = 0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx ，并求 + 0 2 1 cos sin dx x x x 参考答案 一、1、B 2、B 3、A 4、B 5、C 6、D 7、D 8、C 9、B 10、C