第三节分部积分法 基本内容 小结 三、思考题
生一、基本内容 问题「xex=? 解决思路利用两个函数乘积的求导法则 王设函数u=以()和=叫(x)具有连续导数 工工工 (uv)=u'v+uv, uv=uv)-uv uv'dx=uv=lu'vdx udy=uv-vdu 分部积分公式 王页下
问题 xe dx = ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, (uv) = uv + uv , uv (uv) − uv, = uv dx uv u vdx, = − udv uv vdu. = − 分部积分公式 一、基本内容
例1求积分 xcos o 解(一)令=c0sx,xx=bux2=dh xcosxdxt? :coSx+/t 2 sin xdx 2 2 显然,L,ν选择不当,积分更难进行 解(二)令u=x,cosx= d sinx=h xcos xa=xd sin x=xsin- sin xdx sinx+cosx+c 上页
例1 求积分 cos . x xdx 解（一） 令 u = cos x, xdx = dx = dv 2 2 1 xcos xdx = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u = x, cos xdx = d sin x = dv xcos xdx = xd sin x = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x +C
例2求积分x2ex. 解=x2,e‘b=de= 王ed=xe-xk (再次使用分部积分法)u=x,e=h xe-2(xe-e)+C 总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幕函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函 数为a,使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 上页
例2 求积分 . 2 x e dx x 解 , 2 u = x e dx de dv, x x = = x e dx 2 x = x e − xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u = x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
王例3求积分∫ xarctanxa. 2 解令u= arctan,xkx=d=h 2 2 x2 rarctanxar= x2 arctan . d(arctan x) 2 2 =— arctan x 2 21+x 2 2 工工工 arctan 2 2 ×x2)d 2 arctanx-(x-arctanx)+C 2 2 上页
例3 求积分 arctan . x xdx 解 令 u = arctan x , dv x xdx = d = 2 2 xarctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = − − ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − +