第二节换元积分法 一、第一类换元法 第二类换元法 巴三、小结思考题
王=、第一类换元法 问题∫cos×2 xdx$ sin2 2x+C, 解决方法利用复合函数,设置中间变量 上(cos2xhx=)你吃 过程令t=2x→d= -sint +C=-sin 2x+c 2 2 上页
问题 cos2xdx= sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 2 1 dx = dt cos2xdx tdt = cos 2 1 = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法
在一般情况下: 汪设F(a)/(n,则0∫()m=F(a)+C 如果u=p(x)(可微) dFi(x)=fIo(rlo(x)dc 工工工 ∫f(x)p(x)d=Flp(x)+C 上=∫f(n)dnl-9s由此可得换元法定理 上页
在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微） dF[(x)] = f[(x)](x)dx f[(x)](x)dx = F[(x)]+ C = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 由此可得换元法定理
定理1设f(m)具有原函数,u=q(x)可导, 则有换元公式 王∫ncol(x)=Jr(ahl u=o(x) 第一类换元公式(凑微分法) 庄说明使用此公式的关键在于将 生J8(xk化为nq)xt 观察重点不同,所得结论不同 上页
设 f (u)具有原函数， f[(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) . f x x dx 观察重点不同，所得结论不同. u = (x)可导， 则有换元公式 定理1
例1求sin2xdx 解()Jsi2xx=y∫smn2xd(2x) 2 =_c0s2x+C; 解(二)「sin2xx=2| sin xcos xdx 2]sin xd(sinx)=(sinx)+C 解(三)∫sin2xd=2」 sinx.xd 2」cosx=-(osxy)+c 上页
例1 求 sin2 . xdx 解（一） sin2xdx = sin2 (2 ) 2 1 xd x cos 2 ; 2 1 = − x + C 解（二） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = 2 sin xd(sin x) (sin ) ; 2 = x + C 解（三） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = − 2 cos xd(cos x) (cos ) . 2 = − x + C