注意若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 上结论可能不成立 例如,y=x,x∈[-2,2]; 在[-2,2上除∫(0)不存在外满足罗尔定理 的一切条件,但在区间[2,2内找不到一点能 使∫(x)=0 1-x,x∈(0,1 又例如,0 y=x,x∈0,1 上页
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y = x , x[−2,2]; , [ 2,2] (0) , 的一切条件 在 − 上除 f 不存在外 满足罗尔定理 ( ) 0. [-2 2] 使 f x = 但在区间 ， 内找不到一点能 ; 0, 0 1 , (0,1] = − = x x x y y = x, x[0,1]. 又例如
例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根. 证设∫(x)=x3-5x+,则f(x)在0,连续, 且∫(0)=1,f(1)=-3. 由介值定理 彐xo∈(0,1,使∫(x)=0.即为方程的小于1的正实根 设另有x1∈(0,12x1≠x,使f(x)=0. f(x)在x,x1之间满足罗尔定理的条件, 至少存在一个5(在xn2x1之间,使得∫()=0 但∫(x)=5(x4-1)<0,(x∈(0,1)矛盾,为唯一实根 圆[回 上页
例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 f () = 0. ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根
生三、拉格朗日 Lagrange)中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数f(x)在 (2 闭区间a,b上连续,在开区间a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(a<ξ<b),使等式 f(b)-f(a)=f(2)(b-a)成立 王注意与罗尔定理相比条件咕法掉了(0() 结论亦可写娥f(b)-f(a) =f(ξ) b-a 上页
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. (1) (2) 注意:与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) = f (b). ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a 结论亦可写成