例2用定义验证limq”=0(0<|q<1). 分析对于任意的正数8，要使|q”-0川<ε，只要 loge n> loglg1 证Vε>0（不妨设0<ε<1），取N= 当n>N时，有 |q"-01<e. 这就证明了limq”=0. n->oo 前页 后页 返回
前页 后页 返回 lim 0 ( 0 | | 1) . n n q q 例2 用定义验证 分析 对于任意的正数 , 要使 | 0 | , n q 只要 log . log | | n q 这就证明了 lim 0. n n q | 0 | . n q 证 0( 0 1), 不妨设 当 n N 时,有 log , log | | N q 取
例3用定义验证im。 分析任给ε>0，由 n n+7 3(3n2-n-7)} 当n≥7时，n+7≤2n,3n2-n-7≥3n2-2n≥2n2, 故要使 n+7 2n-1 3(3n2-n-7) 6n2 <￡成立， 只要> 3e 即可 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 2 2 2 1 7 , 3 7 3 3 7 3 n n n n n n （ ） 当 n 7 , 时 n 7 2n, 2 2 2 3 7 3 2 2 , n n n n n 只要 即可. 1 3 n 2 2 1 lim . n 3 7 3 n n n 例3 用定义验证 分析 任给 0, 由 故要使 2 2 7 2 1 3 3 7 6 3 n n n n n n （ ） 成立
注意解这个不等式是在n≥7的条件下进行的. 证对于任意的正数ε，取 -ma]} 当n>N时，有 即得 n2_1 lim- n→w3n2-n-73 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 证 对于任意的正数 , 取 1 max 7, , 3 N 当 n N 时, 有 2 2 1 , 3 7 3 n n n 即得 2 2 1 lim . n 3 7 3 n n n 注意 解这个不等式是在 n 7 的条件下进行的
例4用定义验证lima=1,其中a>0. n->co 证这里只验证a>1的情形(0<a<1时自证). 设an=a"-1.因为a=(1+an)”≥1+nan,所以 0<an-Va-1sa-1 放对于任正数，取N[。,当>N时， Va-1 <a. 因此证得lima=1. 前页 后顶 返回
前页 后页 返回 1 1 . n n 设 a 因为 1 1 , n n a n n 所以 例4 lim 1, n n 用定义验证 a 其中 a 0. 1 . n a 因此证得 lim 1 . n n a 证 这里只验证 a 1 的情形（ 0 1 a 时自证）. . 1 0 1 n a a n n 故对于任意正数 1 , , , a N n N 取 当 时
五、再论“6-N”说法 从定义及上面的例题我们可以看出： 1.ε的任意性：定义中的ε用来刻画数列{a,}的通 项与定数a的接近程度.显然正数e愈小，表示am 与a接近的程度愈高；s是任意的，这就表示am 与a可以任意接近.要注意，ε一旦给出，在接下 来计算N的过程中，它暂时看作是确定不变的. 此外，又因6是任意正数，所以28,36，，…等
前页 后页 返回 五、再论 “ - N ”说法 从定义及上面的例题我们可以看出: 此外，又因 是任意正数, 所以 , 等 2 2 , 3 , 1. 的任意性 : 定义中的 用来刻画数列 {an } 的通 项与定数 a 的接近程度. 显然正数 愈小,表示 a n 与 a 接近的程度愈高； 是任意的, 这就表示 an 与 a 可以任意接近.要注意， 一旦给出，在接下 来计算 N 的过程中，它暂时看作是确定不变的