二、一个经典的例子 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用了 一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.它的 意思是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这 样的过程可以无限制地进行下去. 我们把每天截下部分（或剩下部分）的长度列出： 第一天截下)第二天截下 22 第n天截下 1 2”,…·这样就得到一个数列 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 二、一个经典的例子 样的过程可以无限制地进行下去. 我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出： 第一天截下 , 2 1 第二天截下 2 1 , , 2 第n天截下 1 , . 2 n 这样就得到一个数列: 古代哲学家庄周所著的《庄子 · 天下篇》引用了 一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的 意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这
京2，或} 谷易看出：数列{}的通项随若n的无限增 大而无限趋于0. 前顶 后顶 返回
前页 后页 返回 2 1 1 1 1 , , , , , . 2 2 2 2 n n 或 容易看出: 数列 1 1 2 2 n n 的通项 随着 n 的无限增 大而无限趋于 0
三、收敛数列的定义 一般地说，对于数列{an},若当n充分变大时，an 能无限地接近某个常数a,则称{an}收敛于a. 下面给出严格的数学定义. 定义1设{a}为一个数列，a为一个常数，若对于 任意的正数&>0，总存在正整数N,使当n>N时， a-a<s, 则称数列{an}收敛于a,又称a为数列{an}的极限， 前页 后页 返回
前页 后页 返回 三、收敛数列的定义 下面给出严格的数学定义. 定义1 { }n 设 a 为一个数列, a 为一个常数, 若对于 任意的正数 0 ,总存在正整数 N, 使当 n >N 时, | a a | , n 则称数列 { } an 收敛于a , 又称 a 为数列 { } an 的极限, 一般地说,对于数列 , 若当 n 充分变大时, an { }n a 能无限地接近某个常数 a , 则称 { } an 收敛于 a
记作 lim a,a n-→oo (或an→a,n>oo). aN+1 an 山6 aa+s a x 若{an}不收敛，则称{，}为发散数列. 注定义1这种陈述方式，俗称为“ε-N”说法 前 后页
前页 后页 返回 记作 lim n n a a ( , ) . n 或 a a n 若 { } an 不收敛, 则称 { } an 为发散数列. a x aN 1 1 a 2 a a a ( ) n a 注 定义1 这种陈述方式，俗称为 “ - N ”说法
四、按定义验证极限 为了加深对数列收敛定义的了解，下面结合例题加 以说明，希望大家对“ε-N”说法能有正确的认识. 例1用定义验证：1im=0. n-→on 分析 对于复意正金妥使”-0<6，只要m心 数 正对于征意的正数6，取N-[日当”>N时， ka,所以0 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 四、按定义验证极限 以说明, 希望大家对 “ - N ”说法能有正确的认识. 例1 用定义验证: 1 lim 0. n n 分析 对于任意正 数 , 要使 1 0 , n 只要 . 1 n 证 对于任意的正数 , 1 N , 取 当 n N 时, 1 0 , n 所以 1 lim 0 . n n 为了加深对数列收敛定义的了解, 下面结合例题加