第十五章 傅里叶级数 一、基本内容 ·1、傅里叶级数 ·2、收敛定理及其证明 ·3、以2π为周期的函数的展开式 ■4、以21为周期的函数的展开式 ·5、偶函数与奇函数的傅里叶级数 ·二、目的与要求 掌握计算Fourier系数的公式；会写出以2π为周期的函数的Fourier级数 以及奇函数、偶函数的Fourier:级数展开式；了解Fourier:级数的收敛定 理及其证明、理解Riemann引理的证明思想。 ·三、重点与难点 ·Fouriers级数展开式：Fourier?级数的收敛定理及其证明
第十五章 傅里叶级数 一、基本内容 1、傅里叶级数 2、收敛定理及其证明 3、以2为周期的函数的展开式 4、以2l为周期的函数的展开式 5、偶函数与奇函数的傅里叶级数 二 、目的与要求 掌握计算Fourier系数的公式；会写出以2为周期的函数的Fourier级数 以及奇函数、偶函数的Fourier级数展开式；了解Fourier级数的收敛定 理及其证明、理解Riemann引理的证明思想。 三、重点与难点 Fourier级数展开式；Fourier级数的收敛定理及其证明
§15.1傅里叶级数 ·1、正交函数系 三角函数列（也称为三角函数系） 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnc,(1) 称为三角函数系 且具有共同的周期2π
§15.1 傅里叶级数 1、正交函数系 三角函数列(也称为三角函数系) 1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 , ,cos ,sin , (1) x x x x nx nx 称为三角函数系 且具有共同的周期 2π
在三角函数系(1)中，任何两个不相同的函数 的乘积在[一π，π]上的积分等于零，即 ∫cosdx=∫sind--0, (2) ["cosmxcosnxdx=0 (mn), sin mxsinnxdx=0(m≠n), (3) ∫cos mxsin nxdx-0. 而(1)中任何一个函数的平方在[π，]上的积分都
在三角函数系(1)中, 任何两个不相同的函数 π π π π cos d sin d 0, (2) nx x nx x π π π π π π cos cos d 0 ( ), sin sin d 0 ( ), (3) cos sin d 0 . mx nx x m n mx nx x m n mx nx x 的乘积在 [ , ] 上的积分等于零,即 而(1)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
不等于零，即 ∫os'mde=Jsin2xdr=元 (4) ∫1dr=2m 若两个函数p与w在[，b]上可积，且 )(x)dx-0 则称p与V在[a,b]上是1 的，或在[a,b上具有正 交性.由此三角函数系(4)在【一π，π]上具有正交性 或者说(1)是正交函数系
不等于零, 即 π π 2 2 π π π 2 π cos d sin d π, (4) 1 d 2π nx x x x x 若两个函数 与 在 [ , ] a b 上可积, 且 ( ) ( )d 0 b a x x x 则称 与 在 [ , ] a b 上是正交的, 或在 [ , ] a b 上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在 [π,π] 上具有正交性. 或者说(1)是正交函数系
2、以2为周期的函数的傳里叶级数 函数f在一π，π]上可积.由 f(x)cosmd.1.2.. (5a) )sinmd (5b) 则可按公式（⑤）计算出an和bn,它们称为函数 f(关于三角函数系())的傅里叶系数，以f的傅里叶系数 构成的级数 (a cosmsinn). 21 (6) =1
π π 1 ( )cos d , 0,1,2, , (5 ) π n a f x nx x n a 2、以 2 为周期的函数的傅里叶级数 π π 1 ( )sin d , 1,2, , (5 ) π n b f x nx x n b 函数 f 在 [ , ] 上可积. 由 n a f (关于三角函数系(1) ) 的傅里叶系数,以 f 的傅里叶系数 构成的级数 0 1 ( cos sin ). (6) 2 n n n a a nx b nx 和 n 则可按公式(5)计算出 b , 它们称为函数