第二十二章 曲面积分 教学课节： §1第一型曲面积分 §2第二型曲面积分 §3高斯公式与斯托克斯公式 前页 后页 返回
前页 后页 返回 第二十二章 曲面积分 教学课节： §1 第一型曲面积分 §2 第二型曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式
§1第一型曲面积分 教学内容： 一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算 前页 后页 返回
前页 后页 返回 教学内容： 一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算 §1 第一型曲面积分
一、第一型曲面积分的概念 如同第一型曲线积分，当质量分布在某一曲面块S, 且密度函数p(x,y,z)在S上连续时，曲面块S的质 量为极限 Iim∑p(5,7,5)△S, 1IT1-→0 i=1 其中T={S1,2,.,Sn}为曲面块的分割，△S表 示小曲面块S,的面积，(5,7，S)为S,中任意一点， ‖T‖为分割T的细度，即为诸S,中的最大直径， 前页 后页 返回
前页 后页 返回 示小曲面块 Si (,, ) iii ξηζ 的面积， 为 Si 中任意一点， 1 2 {, , } T SS S = n ..., 其中 为曲面块的分割，∆Si 表 一、第一型曲面积分的概念 如同第一型曲线积分, 当质量分布在某一曲面块 S， 量为极限 → = ∑ i || || 0 1 lim ( , , ) , n ii i T i ρξ η ζ ∆S || || T 为分割 T 的细度，即为诸 Si 中的最大直径. 且密度函数 ρ(, ,) xyz 在 S上连续时，曲面块 S 的质
定义1设S是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为 定义在S上的函数.对曲面S作分割T,它把S分成 n个小曲面块S,(i=1,2,,n),以△S,记小曲面块 S,的面积，分割T的细度T=max{S,的直径}，在 <i< S,上任取一点(5,7,5)(i=1,2,,m),若存在极限 lim∑f(5,n,5)△S,=, IT-→0 i=1 且与分割T及(5，，5)的取法无关，则称此极限为 f(x,y,z)在S上的第一型曲面积分，记作 前页 后页 返回
前页 后页 返回 Si ( , , ) ( 1, 2, , ), iii 上任取一点 ξηζ i n = 若存在极限 || || 0 1 lim ( , , ) , n iii i T i f SI ξηζ ∆ → = ∑ = 定义在S上的函数. 对曲面S作分割T, 它把 S 分成 n 个小曲面块 Si n S i i ( 1, 2, , ), = 以 ∆ 记小曲面块 Si { } 1 || || max i i n T S ≤ ≤ 的面积, 分割T 的细度 = 的直径 ，在 定义1 设S是空间中可求面积的曲面, f xyz (, ,) 为 且与分割 T 及 (,, ) ξηζ iii 的取法 无关, 则称此极限为 f xyz S (,,) 在 上的第一型曲面积分, 记作
1=∬fx,zas. (0 于是，前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为： m=∬p(x,Jyz)dS. S 特别地，当f(x,y,z)=1时，曲面积分∬dS就是曲面 块S的面积. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 ( , , )d . (1) S I f xyz S = ∫∫ 于是, 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为: f xyz (,,) 1 ≡ d S S 特别地 ∫∫ , 当 时,曲面积分 就是曲面 块 S 的面积. ( , , )d . S m xyz S = ρ ∫∫