第十四章幂级数 ·一、基本内容 ·1区、幂级数 ()、幂级数的性质 。 (2)、幂级数的运算 2、函数的幂级数展开 ·(①)、泰勒级数 (2)、初等函数的幂级数展开式 。 二、研究幂级数的目的与要求 充分理解函数)的Taylor级数和Maclaurin:级数的概念；掌握函数x)的Taylor 公式：熟练掌握函数可以幂级数展开的条件：会用直接法和间接法求函数的 幂级数展开)：熟练掌握幂级数的内闭致收敛性、和函数的性质（连续性 可积性、可微性)：会求比较简单的幂级数的和函数。幂级数在级数理论中 有着特殊的地位，在函数逼近和近似计算中有重要应用，特别是函数的幂级数 展开为研究非初等函数提供了有力的工具」 ·三、重点与难点 ·重点：幂级数的收敛区间、展开式 。难点：收敛区间端点处敛散性的判别
前页 后页 返回 第十四章 幂 级 数 • 一、基本内容 • 1 、幂级数 • (1) 、幂级数的性质 • (2) 、幂级数的运算 • 2、函数的幂级数展开 • (1) 、泰勒级数 • (2) 、初等函数的幂级数展开式 • 二、研究幂级数的目的与要求 • 充分理解函数f(x)的Taylor级数和Maclaurin级数的概念； 掌握函数f(x)的Taylor 公式；熟练掌握函数可以幂级数展开的条件；会用直接法和间接法求函数的 幂级数展开)； 熟练掌握幂级数的内闭一致收敛性、和函数的性质(连续性、 可积性、可微性) ； 会求比较简单的幂级数的和函数。幂级数在级数理论中 有着特殊的地位, 在函数逼近和近似计算中有重要应用, 特别是函数的幂级数 展开为研究非初等函数提供了有力的工具. • 三、重点与难点 • 重点：幂级数的收敛区间、展开式； • 难点：收敛区间端点处敛散性的判别
§14.1幂级数 ·1、幂级数的收敛区间 ·2、幂级数的性质 ·3、幂级数的运算 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §14.1 幂级数 • 1、幂级数的收敛区间 • 2、幂级数的性质 • 3、幂级数的运算
1、幂级数的收敛区间 幂级数的一般形式为 2a.-y=a+a-+a- +an(x-x)”+…, (1) 为方便起见，下面将重点讨论x,=0,即 ax=a+a,+a,2++ax+ (2) n=0 的情形.因为只要把(2)中的x换成x-x,就得到(1) 前页 后页 返回
前页 后页 返回 1、幂级数的收敛区间 幂级数的一般形式为 2 0 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n a x x a a x x a x x 为方便起见, 下面将重点讨论 0 x 0 , 即 2 0 1 2 0 (2) n n n n n a x a a x a x a x x 换成 0 的情形.因为只要把(2)中的 x x , 就得到(1). 0 ( ) , (1) n n a x x
定理14.1（阿贝耳定理）若幂级数(2)在x=x≠0 收敛，则对满足不等式x<引的任何x,幂级数 (2)收敛而且绝对收敛；若幂级数(2)在x=x时发散， 则对满足不等式x>x引的任何x,幂级数(2)发散， 前页 后页 返回
前页 后页 返回 定理14.1 (阿贝耳定理) 若幂级数(2)在 x x 0 收敛, 则对满足不等式 | | | | x x 的任何 x ,幂级数 (2)收敛而且绝对收敛;若幂级数(2)在 x x 时发散, 则对满足不等 式 | | | | x x 的任何 x ,幂级数(2)发散
为幂级数2)的收敛区间.怎样求得幂级数(2)的收敛 半径和收敛区间呢？ 定理14.2对于幂级数(2)，若 limva.l=p. (3) 则当 ()0<p<+o时，幂级数(2)的收敛半径R=1； ()p=0时，幂级数(2)的收敛半径R=+o; (i)p=+o时，幂级数(2)的收敛半径R=0. 前项 返回
前页 后页 返回 为幂级数(2)的收敛区间. 怎样求得幂级数(2)的收敛 半径和收敛区间呢? 定理14.2 对于幂级数(2), 若 lim , (3) n n n a 则当 1 (i) 0 , (2) ; R 时 幂级数 的收敛半径 (ii) 0 , (2) ; 时 幂级数 的收敛半径 R (iii) , (2) 0. 时 幂级数 的收敛半径 R