第十一章反常积分 11.1反常积分概念 11.2无穷积分的性质与收敛判别 11.3瑕积分的性质与收敛判别 前页 后页 返回
前页 后页 返回 第十一章反常积分 11.1 反常积分概念 11.2 无穷积分的性质与收敛判别 11.3 瑕积分的性质与收敛判别
11.1反常积分概念 一、引例 二、无穷限的广义积分 三、无界函数的广义积分 前 返回
前页 后页 返回 11.1 反常积分概念 一 、 引例 二、无穷限的广义积分 三、无界函数的广义积分 四、小结
一、引例 在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间 的有穷性；被积函数的有界性 但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间 上的“积分”或无界函数的“积分”. 例1（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火 箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初 速度y至少要多大？ 前页 后页 返回
前页 后页 返回 一、引例 在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间 但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间 例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火 的有穷性; 被积函数的有界性. 上的“积分”或无界函数的“积分”. 箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初 速度 v0 至少要多大？
解设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重 力加速度为g,按万有引力定理，在距地心x(2R) 处火箭所受的引力为 F= mgR2 k2 =限KR》 前页 后页 返回
前页 后页 返回 解 设地球半径为 R,火箭质量为 m,地面上的重 处火箭所受的引力为 , 2 2 x mgR F . 1 1 d 2 2 2 R r x mgR x r mgR R 力加速度为 g, 按万有引力定理, 在距地心 x R
当r→+oo时，其极限gR就是火箭无限远离地 球需作的功.于是自然把这一极限写作上限为 +0的积分 厂a=-"ggR 由机械能守恒定律可求初速度'至少应使 号m=mgR 用g=9.81(m/s2),R=6.371×106(m)代入，得 =√2gR≈11.2(km/s): 前页 后页 返回
前页 后页 返回 当 r 时,其极限 mgR 就是火箭无限远离地 的积分 2 2 2 2 d lim d . r R R r mgR mgR x x mgR x x 由机械能守恒定律可求初速度 v0 至少应使 2 0 1 . 2 mv mgR 2 6 用 g R 9.81(m/s ) , 6.371 10 (m) 代入,得 0 v gR 2 11.2 (km/ s). 球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为