第十七章多元函数微分学 §1可微性与偏导数 §2复合函数微分法 §3方向导数与梯度 §4泰勒公式与极值问题 前页 后页 返回
前页 后页 返回 第十七章 多元函数微分学 §1 可微性与偏导数 §2 复合函数微分法 §3 方向导数与梯度 §4 泰勒公式与极值问题
§1可微性与偏导数 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件 四、可微性的几何意义及应用 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §1 可微性与偏导数 四、可微性的几何意义及应用 返回 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件
一、可微性与全微分 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x+Ax,y)-f(x.y)fx(x,y)Ax f(x,y+Ay)-f(x,y)f(x,y)Ay 二元函数 二元函数 对x和对y的偏增量 对x和对y的偏微分 前页 后页 返回
前页 后页 返回 f x x y f x y ( , ) ( , ) f x (x, y)x f x y y f x y ( , ) ( , ) f x y y y ( , ) 二元函数 对x和对 y的偏微分 二元函数 对 x 和对 y 的偏增量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、可微性与全微分
定义1设函数z=f(x,y)在某邻域U(P)内有定 义.对于P(x,y)=(x。+△x,y+△y)∈U(P),若f在 P的全增量△z可表示为： △z=f(x0+△x,o+△y)-f(xoy) =A△x+B△y+0(p), (10 其中A,B是仅与点P有关的常数，p=√△x2+△y2, o(p)是p的高阶无穷小量，则称f在点P可微 并称(I)式中关于△x,△y的线性表达式A△x+B△y 前页 后页 返回
前页 后页 返回 定义 1 设函数 0 z f x y U P ( , ) ( ) 在某邻域 内有定 0 0 0 义.对于 P x y x x y y U P ( , ) ( , ) ( ), 若 f 在 P0 的全增量 z 可表示为: 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ), z f x x y y f x y A x B y o (1) P0 2 2 其中A,B是仅与点 有关的常数, x y , o( ) 是 的高阶无穷小量 P0 , 则称 f 在点 可微. 并称 (1) 式中关于 x y A x B y , 的线性表达式
为f在P的全微分，记作 dzlB=df(x,)=A△x+BAy 当|△x,|△y|充分小时，全微分dz可作为全增量 4?的近似值，于是有近似公式： f(x,y)f(xoVo)+A(x-xo)+B(y-yo). 在使用上，有时也把()式写成如下形式： △z=A△x+B△y+a△x+B△y, 这里lim。a&=,.lim。。B=0. (△x,△y)-→(0,0)（△x,△y)-→(0,0） 前页 后页 返回
前页 后页 返回 当 | |, | | x y 充分小时, 全微分 dz ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim lim 0. x y x y 这里 z A x B y x y , 0 d | d ( , ) . P 0 0 z f x y A x B y 0 为 f P 在 的全微分, 记作 z 可作为全增量 的近似值, 于是有近似公式: 在使用上, 有时也把 (1) 式写成如下形式： 0 0 0 0 f x y f x y A x x B y y ( , ) ( , ) ( ) ( ).