均可看作任意正数，故定义1中的不等式 a-a<s 可以用|an-a|<Kε(K为某一正常数)来代替. 再有，我们还可以限定ε小于某一个正数（比如 8<1).事实上，对0<8<1若能验证{an}满足 定义1，那么对ε≥1自然也可以验证成立， 2.N的相对性：从定义1中又可看出，随着ε的取值 不同，N当然也会不同.但这并不意味着N是由 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 | a a | n 可以用 a a K | n | ( K 为某一正常数 ) 来代替. 定义 1, 那么对 1 自然也可以验证成立. 均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式 2. N 的相对性:从定义1 中又可看出, 随着 的取值 不同, N 当然也会不同. 但这并不意味着 N 是由 再有, 我们还可以限定 小于某一个正数 ( 比如 < 1 ). 事实上, 对 0 < < 1 若能验证 { an } 满足
ε惟一确定.例如，当n>N时，有 a-a<8, 则当n>N1=2N时，对于同样的e,更应有 a-a<e. 也就是说，在这里只是强调N的存在性，而不追 求N的“最佳性”. 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 |a a| , n 则当 n > N1 = 2N 时, 对于同样的 , 更应有 惟一确定. 例如, 当 n >N 时, 有 求 N 的 “ 最佳性 ” . |a a| . n 也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追
3.极限的几何意义 从几何上看，“n>N时有|an-@<e”,实际上就是 所有下标大于N的an全都落在邻域U(;)之内， 而在U(;)之外，{n}至多只有有限项(N项). 反过来，如果对于任意正数e,落在U(a;e)之外至 多只有有限项，设这些项的最大下标为N,这就表 示当n>N时，an∈U(a;s),即lima=a. n->oo 前 后页
前页 后页 返回 3. 极限的几何意义 示当 n >N 时, a U(a; ), lim a a . n n n 即 从几何上看, “n N 时有 |an a| ” ,实际上就是 所有下标大于 N 的 an 全都落在邻域 U(a; ) 之内， 而在 之外, { an U(a; ) } 至多只有有限项( N 项 ). 反过来, 如果对于任意正数 , 落在 U(a; ) 之外至 多只有有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表
以上是定义1的等价说法，写成定义就是： 定义1'任给ε>0，若在U(;8)之外至多只有 {an}的有限多项，则称数列{an}收敛于a.这样， {an}不以a为极限的定义也可陈述为：存在8>0， 使得在(a-eo,a+8)之外含有{an}中的无限多 项 注{an}无极限（即发散）的等价定义为：{an} 不以任何实数α为极限
前页 后页 返回 { an } 的有限多项, 则称数列 { an } 收敛于a . 这样, { an } 不以 a 为极限的定义也可陈述为:存在 0, 0 之外含有 { an 使得在 ( ) a a 0 0 ， } 中的无限多 不以任何实数 a 为极限. 以上是定义 1 的等价说法, 写成定义就是: 定义1' 任给 0 , 若在 U(a; ) 之外至多只有 项. 注 { an }无极限（即发散）的等价定义为: { an }
4.无穷小数列和无穷大数列 定义2若lima,=0,则称{an}为无穷小数列. 例如得和是无方小数列当？<1时， 是无穷小数列 以下定理显然成立，请读者自证！ 定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{an-a} 是无穷小数列. 前 后页 返回
前页 后页 返回 定义2 lim 0, { } . n n n a a 若 则称 为无穷小数列 2 1 ! . 1 n n n q q n n 例如 和 是无穷小数列 当 时, 2.1 { } } { n n 定理 数列 a a a a 收敛于 的充要条件是: 以下定理显然成立,请读者自证. 4.无穷小数列和无穷大数列 是无穷小数列. 是无穷小数列