第七章实数的完备性 ·7.1关于实数集完备性的基本定理 ·7.2闭区间上连续函数性质的证明
• 7.1 关于实数集完备性的基本定理 • 7.2 闭区间上连续函数性质的证明
7.1实数完备性的基本定理 ·一、区间套定理与柯西收敛准则 ·二、聚点定理与有限覆盖定理
• 一、区间套定理与柯西收敛准则 • 二、聚点定理与有限覆盖定理
一、闭区间套定理 1.闭区间套 定义1如一列闭区间{[a,b,]}满足 (1) [an+1,bn1]c[an,bn],n=1,2,3, (2)lim(bn-a,)=0, 则称{[a,b,]}形成一个闭区间套。简称区间套 444 b
一、闭区间套定理 1.闭区间套 {[ , ]} an bn 则称{[an ,bn ]}形成一个闭区间套。 定义 1 如一列闭区间 满足 （1） [ , ] [ , ], 1,2,3, an1 bn1 an bn n … （2） lim( ) 0, n n n b a 简称区间套. 定义 1 如一列闭区间 a1 a2 a3 a4 b4 b3 b2 b1
注1 设{a}是一个区间套，则由条件(I) 可知， an≤a+1≤bm+1≤bn(n=1,2,…）): 从而可以知道数列{an}单调递增，数列b}单 调递减.且由 an≤bn≤…≤b1,（n=l,2,…), 可知{an}有上界，bn}有上界. a≤a,≤…≤an≤…≤b≤…≤b,≤b 注2由注1可知，lima,limb都存在，因此由条件2) 可得lima=imbn 1-→co n-→co
. 1 2 2 1 a a a b b b n n L L L 注2 由注1可知, lim n n a ,lim n n b 都存在,因此由条件(2) 可得 lim n n a lim . n n b
2.闭区间套定理 定理1如果{[an,bJ}形成一个闭区间套，则 存在唯一的实数5属于所有的闭区间，即 5∈[an,bnln=1,2, 且5=lima=imbn· n>oo n->oo 推论若5∈[an,bnl,n=1,2,是闭区间套{Lan,bnl} 所确定的点，则 Vε>0,3N∈N,3Vn>N,[an,bn]cU(5;e)
2.闭区间套定理 存在唯一的实数 属于所有的闭区间，即 lim lim . n n n n a b 且 [ , ] 1,2, n n a b n 定理 1 如果 {[ , ]} a b n n 形成一个闭区间套，则 0, , ,[ , ] ( ; ). N N n N a b U n n 所确定的点，则 推论 若 [ , ], 1,2, a b n n n 是闭区间套 {[ , ]} n n a b