南阳师范大学：《线性代数》课程教学资源（练习题）考研辅导练习题——矩阵特征值特征向量习题

习题(A) 1.选择题 (1)n阶方阵A与B相似的充分条件是() (A)A=B:(B)R(A)=R(B):(C)2E-A=2E-B卧：(D)A与B有相同的特征 值，…，入n,且入，，n两两不等。 (2)若A与B相似，则下列结论不正确的是() (A)A和B有相同的特征多项式：(B)A=B:(C)A与B有相同的特征值和特征向量： (D)tr(A)=tr(B) (3)设A为n阶实对称矩阵，P为n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值元 的特征向量，则矩阵(PAP)了属于特征值1的特征向量是() (A)P-a:(B)PTa;(C)Pa:(D)(P-)'a 2判断下列结论的正误，并给出理由。 (1)若对某个向量x有=x,则是A的特征值 (2)矩阵A不可逆的充要条件是零是A的特征值. (3)数c是A的特征值的充要条件是(cE-)x=0有非零解。 (4)若存在数1使Ar=元x成立，那么x是A的特征向量。 (5)若户，P是线性无关的特征向量，则它们是对应于不同特征值的特征向量 (6)A的行列式值等于其对角线上元素的乘积。 3填空题 (1)设A满足A2-4A+4E=0,则A的特征值是 ,A的特征值是。 (2)已知3阶方阵A的特征值为1,1,2，则3A?-2A-2E的特征值为 (3)已知3阶方阵A的特征值为1,23，求4-5AP+7= (4)若A~A= 则A的特征值为 ,A=,R(A0= 0 tr(40= (5)设A是3阶实对称矩阵，若P=A,且R(A)=2,则A的特征值是 (6)若A是3阶方阵，且矩阵A的各行元素之和是5，则矩阵A必有特征向量 且对应的特征值为 4,求下列矩阵的特征值和特征向量

习题（A） 1.选择题 （1）n 阶方阵 A 与 B 相似的充分条件是（    ） （A） A  B ；（B） R() () A RB  ；（C）   EA EB    ；（D）A 与 B 有相同的特征 值 1, ,   n ，且 1, ,   n 两两不等。 （2）若 A 与 B 相似，则下列结论不正确的是（    ） （A）A 和 B 有相同的特征多项式；（B） A  B ；（C）A 与 B 有相同的特征值和特征向量； （D）tr A tr B () ()  （3）设 A 为 n 阶实对称矩阵，P 为 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵 属于特征值 1 (P AP  ) T  的特征向量是（    ） (A) 1 P  ;(B) T P  ;（C） P ；（D） 1 ( )T P   2.判断下列结论的正误，并给出理由。 （1）若对某个向量 x 有 Ax x   ，则 是 A 的特征值。 （2）矩阵 A 不可逆的充要条件是零是 A 的特征值。 （3）数 c 是 A 的特征值的充要条件是( ) cE A x   0 有非零解。 （4）若存在数 使 Ax x   成立，那么 x 是 A 的特征向量。 （5）若 1, 2 p p 是线性无关的特征向量，则它们是对应于不同特征值的特征向量。 （6）A 的行列式值等于其对角线上元素的乘积。 3.填空题 （1）设 A 满足 2 A AE  4 4   0 ，则A的特征值是              ， A1 的特征值是     。 （2）已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1，‐1，2，则 2 3 22 A   A E 的特征值为_____________. （3）已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1,2,3，求 3 2 A   5 7 A A  =____________________. （4）若 ，则 1 2 0 A             A 的特征值为_________， A  _____ ( ) ____  A ，R A ， tr A( ) _____  。 （5）设 A 是 3 阶实对称矩阵，若 2 A  ，且 R A( )  2，则 A 的特征值是________. （6）若 A 是 3 阶方阵，且矩阵 A 的各行元素之和是 5，则矩阵 A 必有特征向量________, 且对应的特征值为________. 4.求下列矩阵的特征值和特征向量

（-110)-211100 102 -413 5.设数列{un,{y}满足： 4,=24n-1-3yn =4之 且4=l,%=0,求{u}的通项4，及1im4。· 6.设向量a=(a,4,,a)了，B=(,b,…,b,)了，满足aB=0,且a,h≠0，记A=p 求(1)？：(2)矩阵A的特征值和特征向量。 7.设A,B均为n阶方阵，证明AB与BA有相同的特征值。 123 8不计算，求A=123的一个特征值，并验证其结果 123 9.(2005数四)设A为3阶矩阵，a,a,a是线性无关的3维列向量，且满足 Aa =a+a+a,Aa =2a,+a,Aa,=2a,+3a,, (1)求矩阵B使得A(a,a2,a)=(a,a2,a)B: (2)求矩阵A的特征值： (3)求可逆矩阵P,使得PAP为对角矩阵。 1b…b 10.设n阶矩阵A= b1…b (bb…1 (1)求A的特征值和特征向量： (2)求可逆矩阵P,使得PAP为对角阵。 201 11.设矩阵A=31x可相似对角化，求x。 (405

（1） ；（2） ;（3） ；（4） 。 3 1 1 3 A       110 430 1 02 A             211 0 2 0 413 A             100 2 3 0 456 A            5.设数列u v n n , 满足： 1 1 1 1 2 3 1 1 2 2 nn n nn n uu v vu v              且u v 0 0   1 0 , ，求un 的通项 及 。 n u lim n n u  6.设向量    ( , , , ), ( , , , ) aa a bb b 1 2   n T 1 2 n T ，满足 0, T    且 ，记 1 1 a b  0 T A  ， 求（1） ；（2）矩阵 2 A A 的特征值和特征向量。 7.设 A, B 均为 阶方阵，证明 n AB 与 BA 有相同的特征值。 8.不计算，求 的一个特征值，并验证其结果。 123 123 123 A            9.（2005 数四）设 A 为 3 阶矩阵， 123  , ,   是线性无关的 3 维列向量，且满足 A112  3 ， 2 2 2 A    3 ， 3 2 A 2 3      3 ， （1）求矩阵 B 使得 123 123 A B (, , )(, , )     ； （2）求矩阵 A 的特征值； （3）求可逆矩阵 ，使得 为对角矩阵。 P 1 P AP  10.设 n 阶矩阵 ， 1 1 1 b b b b A b b                   （1）求 A 的特征值和特征向量； （2）求可逆矩阵 ，使得 为对角阵。 P 1 P AP  11.设矩阵 201 3 1 405 A x            可相似对角化，求 x

1-2-45 2设矩4之25Λ4相， -4-21 (1)求x,y: (2)求一个正交阵P,使得PAP=A。 11) 1已知4气22来， 14.设=1+2 y,=4x1+3y ，且=2，%=1，求xm 15.设3阶矩阵A满足Aa,=ia,0=1,2,3),其中列向量 a=(1,2,2),a2=(2,-2,1),a=(-2,-1,2),试求矩阵A。 16.设3阶对称矩阵A的特征值为入=1，元=-1，元=0，对应元，乙2的特征向量依次为 1 2 A=2P2=1,求A (2 （-2 (322）(010 17.设矩阵A=232,P=101, B=PAP,求B+2E的特征值与特征向 (223 001 量。 18.设A,B是同阶方阵，(1)如果A,B相似，证明A,B的特征多项式相同：(2)举一个2 阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立：(3)当A,B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆 命题成立。 习题(B) 1、选择题 1 (1)(2012数一)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-AP= P=(pP,P),Q=(B+,P,P),则Q'A0=（）

12.设矩阵 与 相似， 1 24 2 2 4 21 A x               5 4 y              （1）求 x, y ； （2）求一个正交阵 ，使得 P 1 P AP    。 13.已知 ，求 。 1 1 2 2 A        n A 14. 设 ，且 ，求 1 1 1 2 4 3 nn n nn n xx y yx y            1 0 0 x y   2 1 , 100 x 。 15.设 3 阶矩阵 A 满足 ( ,, 123 A ii i i     ) ，其中列向量 12 3 (, , ) , ( , , ) , ( , , ) 12 2 2 21 2 12 T T        T ，试求矩阵 A 。 16.设 3 阶对称矩阵 A 的特征值为 12 3  1 1 , ,     0，对应 1 2  , 的特征向量依次为 1 2 1 2 2 2 2 p p,                1 1 * ，求 A 17.设矩阵 ， ， 322 232 223 A            010 1 0 1 001 P            P AP  B  ，求 B  2E 的特征值与特征向 量。 18.设 A, B 是同阶方阵，（1）如果 A, B 相似，证明 A, B , 的特征多项式相同；（2）举一个 2 阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立；（3）当 A B 均为实对称矩阵时，试证（1）的逆 命题成立。 习题（B） 1、选择题 （1）（2012 数一）设 A 为 3 阶矩阵， 为 3 阶可逆矩阵，且 ， ，Q ，则 P 1 1 1 2 P AP             123 P pp p  (, , ) 1 22   ( ,, p ppp3 ) 1 Q AQ   （    ）

2 2 (2)(2010数一)设A为4阶对称矩阵，且A2+A=0,若A的秩为3，则A相似于() 1 1 :(c) -1 :D 0 0 0 x (3)(2008数一)设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x,水，)Ay=1在正交变 换下得标准方程的图形如图则A的正特征值的个数为： (A)0:(B)1:(C)2:(D)3 （2-1-1100 (4)(2007数-)设矩阵A=-12-1,B=010,则A与B() (-1-12(000 (A)合同且相似：(B)合同但不相似：(C)不合同但相似：(D)既不合同也不相似。 (5)设入，入是矩阵A的不同的特征值，对应的特征向量分别为a,a,则a,4(C+a) 线性无关的充分必要条件是() (A)1≠0：(B)1,≠0：(C)1=0:(D)元=0 2.填空题 (1)设A是3阶矩阵，且4=2A+E=A-E=0,则A-5E=」 (2)设A是3阶矩阵，已知A的特征值为1,23，A,是4中元素a,的代数余子式，则 A1+A2+A=—· (3)已知x是A的属于特征值的特征向量，则PAP对应特征值的特征向量为

（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。 1 2 1           1 1 2           2 1 2           2 2 1           （2）（2010 数一）设 A 为 4 阶对称矩阵，且 2 A A   0，若 A 的秩为 3，则 A 相似于（    ） （ A ） ；（ B ） ；（ C ） ；（ D ） ； 1 1 1 0             1 1 0              1 1 1 0              1 1 1 0               1  （3） (2008 数一)设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程  在正交变 换下得标准方程的图形如图则 , , 1 x xyz A y z            A 的正特征值的个数为： （A）0；（B）1；（C）2；（D）3 （4）（2007 数一）设矩阵 2 11 12 1 1 12 A                 ， ，则 100 010 000 B            A 与 B （    ） (A) 合同且相似；（B）合同但不相似；（C）不合同但相似；（D）既不合同也不相似。 （5）设 1 2  , 是矩阵 A 的不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 2  , ，则 1 12  ,( ) A   线性无关的充分必要条件是（    ） （A） 1   0 ；（B） 2   0 ；（C） 1   0 ；（D） 2   0 2.填空题 （1）设 A 是 3 阶矩阵，且 A AE AE   2 0 ，则 A E   5 ____________ 。 （2）设 A 是 3 阶矩阵，已知 的特征值为 1,2,3， 1 A Aij 是 A 中元素 的代数余子式，则 ij a 11 22 33 AAA  _____ 。 （3）已知 x 是 A 的属于特征值  的特征向量，则 对应特征值 1 P AP   的特征向量为 ____________

(4)已知A~A= ,则RA-E)+RA-2E)=— -2 (-260)1 (5)己知A=-130~B=1,则x=。 (4x1 2 (6)设A是n阶矩阵，B,P,,P是n个线性无关的n维列向量，且满足 p,=p0=1,2,,n),则A= Q只有一个线性无关的特征向量，则a=一· ()已知矩阵4=5月 (8)设A是n阶矩阵，A=2,若矩阵A+E不可逆，则矩阵A的伴随矩阵必有特征 (9)设A是3阶方阵，且矩阵A的各列元素之和是2，则A必有特征值 (10)(2008,数一)设A为2阶方阵，a,a为线性无关的2维列向量，Aa=0, Aa2=2a+a,则A的非零特征值为 (11月(-11) 3.(2011数一)设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且400=00求(1) (-111 A的特征值与特征向量：(2)矩阵A。 4.(2009数-)设二次型f(6,x2,)=a+a+(a-10x+2x5-2x (1)求二次型∫的矩阵的所有特征值： (2)若二次型∫的规范型为片+片，求a的值。 5.(2007数一)设三阶实对称矩阵A的特征值元=1,2=2，元，=-2，a=(1,-1,1)是A 的属于入的一个特征向量，记B=-4?+E,其中E为3阶单位阵， (①)验证a,是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量。 ()求矩阵B

（4）已知 ，则 1 1 2 A               RA E RA E ( ) ( ) ______   2 2    ______ 。 （5）已知 ，则 260 1 130 1 4 1 A B x               x  。 （ 6 ） 设 A 是 n 阶矩阵， 1 2 ,,, n p p p  A  _____ 是 个线性无关的 n 维列向量，且满足 ，则 。 n Ap p i i  ( ,, , i n 1 2  )   （7）已知矩阵 只有一个线性无关的特征向量，则 3 1 5 a A       a  _____ 。 （8）设 A 是 n 阶矩阵， A  2 ，若矩阵 A E 不可逆，则矩阵 A 的伴随矩阵 必有特征 值_________. * A （9）设 A 是 3 阶方阵，且矩阵 A 的各列元素之和是 2，则 A 必有特征值_______. （10）（2008，数一）设 A 为 2 阶方阵， 1 2  , 为线性无关的 2 维列向量， 1 A  0 ， 2 1 A 2     2 ，则 A 的非零特征值为______. A 的秩为 2，且 ，求（1） 1 1 11 00 00 11 1 1 A                 3.（2011 数一）设 A 为 3 阶实对称矩阵，  A 的特征值与特征向量；（2）矩阵 A 。 4.（2009 数一）设二次型 22 2 1 2 3 1 2 3 13 23 f (, , ) ( ) x x x ax ax a x x x x x      12 2 （1）求二次型 f 的矩阵的所有特征值； （2）若二次型 f 的规范型为 ，求 的值。 2 1 y y  2 2 a 5.（2007 数一）设三阶实对称矩阵 A 的特征值 12 3  1 2 , ,    2 ，1   (, , ) 1 11 T 是 A 的属于1 的一个特征向量，记 5 4 3 B   A A  E ，其中 E 为 3 阶单位阵， （I）验证1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值的特征向量。 （ii）求矩阵 B