4相等实根.当a=0时，x符合题意；当a≠0时，4=0，即9-8a=0，得a=，故选8D.5.（2021·陕四榆林三模)设集合A=(x|3x一1<m)，若1EA且24，则实数m的取值范围是(）A. (2,5)B. [2,5C. (2,5)D. [2,5]解析：选C：集合A=x3x-1<m),1EA且2年A，3×1-1<m且3×2-1≥m，解得2<m≤5.故选C.[练后悟通]与集合中元素有关的问题的求解策略（1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性考点二集合的基本关系[师生共研过关][例1](1)(2021·沈阳数学质量监测)设全集U=R，则集合M=[0,1,2)和N=(xx(r-2)·1og2x=0)的关系可表示为(OoooB(2)(2021·四川省闻中中学高三月考)已知集合A={x一1<r<3)，B=(叫一m<x<m，若B二A则m的取值范围为[解析】 (1)因为 N=(x/x(x-2)-log2x=0) =(1,2),M=[0,1,2),所以N是M的真子集.故选A.(2)当m≤0时，B=@，显然BCA.当m>0时,因为A=[叫|-1<r<3).若BCA，在数轴上标出两集合，如图，-1 -m3m第6页共69页
第 6 页 共 69 页 相等实根．当 a＝0 时，x＝ 2 3 ，符合题意；当 a≠0 时，Δ＝0，即 9－8a＝0，得 a＝ 9 8 ，故选 D. 5．(2021·陕西榆林三模)设集合 A＝{x|3x－1<m}，若 1∈A 且 2∉A，则实数 m 的取值范 围是( ) A．(2,5) B．[2,5) C．(2,5] D．[2,5] 解析：选 C ∵集合 A＝{x|3x－1<m},1∈A 且 2∉A，∴3×1－1<m 且 3×2－1≥m，解得 2<m≤5.故选 C. [练后悟通] 与集合中元素有关的问题的求解策略 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明 白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合； (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出 字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 集合的基本关系 [师生共研过关] [例 1] (1)(2021·沈阳教学质量监测)设全集 U＝R，则集合 M＝{0,1,2}和 N＝{x|x·(x－ 2)·log2x＝0}的关系可表示为( ) (2)(2021·四川省阆中中学高三月考)已知集合 A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若 B ⊆A 则 m 的取值范围为_． [解析] (1)因为 N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}， 所以 N 是 M 的真子集．故选 A. (2)当 m≤0 时，B＝∅，显然 B⊆A. 当 m>0 时，因为 A＝{x|－1<x<3}． 若 B⊆A，在数轴上标出两集合，如图
-m≥-1,所以m≤3,所以0<m≤1.(-m<m.综上所述，m的取值范围为（-°，1).[答案] (1)A (2)(一°, 1][对点变式]1.(变设问)诺本例(1)中M不变，则满足NM的集合N的个数为(A. 2B. 3c. 7D. 8解析：选C 因M=(0,1,2),则 N=[0),(1),(2),(0,1),[0,2)，(1,2),0.2.(变条件)若本例(2)中，把条件“BCA”变为“ACB”，其他条件不变，则m的取值范围为(-m≤-1,解析：若ACB，由m≥3，得m≥3,(-m<m,所以m的取值范围为[3，+80)答案：[3，+8][解题技法]1.集合间基本关系的2种判定方法和1个关键(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；(2)用列举法(图两种方法示法）表示各集合，从元素（图形）中寻找关系一个关键关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系2.根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解。(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点第7页共69页
第 7 页 共 69 页 所以 －m≥－1， m≤3， －m<m. 所以 0<m≤1. 综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)A (2)(－∞，1] [对点变式] 1.(变设问)若本例(1)中 M 不变，则满足 N M 的集合 N 的个数为( ) A．2 B．3 C．7 D．8 解析：选 C 因 M＝{0,1,2}，则 N＝{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，∅. 2.(变条件)若本例(2)中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则 m 的取值 范围为_． 解析：若 A⊆B，由 －m≤－1， m≥3， －m<m， 得 m≥3， 所以 m 的取值范围为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞) [解题技法] 1．集合间基本关系的 2 种判定方法和 1 个关键 两种方法 (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；(2)用列举法(图 示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系 一个关键 关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系 2．根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类 讨论，做到不漏解． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意 集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点
值能否取到.[跟踪训练]集合P=0,1)，Q=x十y=1，xEN，则P，Q的关系是（A. P=QB. P QC. Q PD.不确定解析：选B先确定集合Q中的元素y，然后判断.:xEN，x=0,1，从而y=0，±1，即Q=(-1,0,1)，:PQ.故选B.考点引集合的基本运算[定向精析突破]考向1集合的基本运算[例2]（1)2020全国卷Ⅱ)已知集合U=—2，—1，0,1,2,3)，A={1,0,1)，B=1,2)，则Cu(AUB)=(DA. (-2,3)B. (-2,2,3)D. {-2,-1,0,2,3)C. (-2, -1,0,3)(2)(2021·四省八校第二次质量检测)若全集U=R，集合A=(一80，一1)U(4，十80)，B=(x≤2)，则如图阴影部分所示的集合为（）A.(-2≤x<4)B.(xx≤2或x≥4)C. (-2≤x≤-1)D. (≤-1≤x≤2)[解析】(1)由题意，得AUB=【-1,0,1,2)，所以C(AUB)=（-2,3).故选A.(2)A=(x-1≤x≤4)，B=(xl-2≤x≤2)，记所求阴影部分所表示的集合为C则C=(CuA)nB=(x|-1≤x≤2) .[答案】(1)A (2)D【解题技法]集合基本运算的方法技巧第8页共69页
第 8 页 共 69 页 值能否取到． [跟踪训练] 集合 P＝{0,1}，Q＝{y|x 2＋y 2＝1，x∈N}，则 P，Q 的关系是( ) A．P＝Q B．P Q C．Q P D．不确定 解析：选 B 先确定集合 Q 中的元素 y，然后判断．∵x∈N，∴x＝0,1，从而 y＝0，±1， 即 Q＝{－1,0,1}，∴P Q.故选 B. 集合的基本运算 [定向精析突破] 考向 1 集合的基本运算 [例 2] (1)(2020·全国卷Ⅱ)已知集合 U＝{－2，－1，0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}， 则∁U(A∪B)＝( ) A．{－2,3} B．{－2,2,3} C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3} (2)(2021·四省八校第二次质量检测)若全集 U＝R，集合 A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所示的集合为( ) A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2 或 x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2} [解析] (1)由题意，得 A∪B＝{－1,0,1,2}，所以∁U(A∪B)＝{－2,3}．故选 A. (2)∁UA＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，记所求阴影部分所表示的集合为 C，则 C ＝(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤2}． [答案] (1)A (2)D [解题技法] 集合基本运算的方法技巧
确定确定集合中的元素及其满足的条件，如函数的定元素义域、值域，一元二次不等式的解集等1化简根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素集合满足的最简条件，将集合清晰表示出来1运算利用交集或并集的定义求解，必要时可应用数轴求解或Venn图来直观解决考向2根据集合运算结果求参数[例3](1)已知集合A=(x2-3x<0，B=(1，aj，且AnB有4个子集，则实数a的取值范围是()A. (0,3)B. (0,1)U(1,3)C. (0,1)D. (-0, 1)U(3, +0)(2)(2020全国感I)设集合A={xb2-4≤0),B={x|2x+a≤0),且A4nB=(—2≤x≤1),则a=（）)B. -2A-4C. 2D. 4[解析】(1)因为ANB有4个子集，所以ANB中有2个不同的元素，所以aEA，所以a2-3a<0，解得0<a<3.又a1，所以实数α的取值范围是(0,1)U(1,3）.故选B(2)法一: 易知 4=(μ-2≤r≤2) ,B=个|x≤-号),因为 4NB=(]-2≤r≤1) ,所以号=1,解得a= -2.故选 B.2法二：由题意得A=(叫|-2≤x≤2).若a=-4,则B=(xx≤2),又A=(≤-2≤x≤2)，所以AnB=(x-2≤x≤2)，不满足题意，排除A：若a=-2，则B=(xx≤1)，又A=(μ-2≤x≤2)，所以AB=(-2≤x≤1)满足题意；若a=2，则B=(x≤-1)，又A=叫-2≤x≤2)，所以AnB=(-2≤x≤-1),不满足题意，排除C；若a=4，则B={x≤-2)，又A=(-2≤x≤2)，所以AnB=(x=-2)，不满足题意.故选B.[答案】(1)B(2)B[解题技法]集合运算中参数问题的求解策略第9页共69页
第 9 页 共 69 页 考向 2 根据集合运算结果求参数 [例 3] (1)已知集合 A＝{x|x 2－3x＜0}，B＝{1，a}，且 A∩B 有 4 个子集，则实数 a 的 取值范围是( ) A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3) C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) (2)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x 2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}， 则 a＝( ) A．－4 B．－2 C．2 D．4 [解析] (1)因为 A∩B 有 4 个子集，所以 A∩B 中有 2 个不同的元素，所以 a∈A，所以 a 2－3a＜0，解得 0＜a＜3.又 a≠1，所以实数 a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)．故选 B. (2)法一：易知 A＝{x|－2≤x≤2}，B＝ x x≤－ a 2 ，因为 A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以 － a 2 ＝1，解得 a＝－2.故选 B. 法二：由题意得 A＝{x|－2≤x≤2}．若 a＝－4，则 B＝{x|x≤2}，又 A＝{x|－2≤x≤2}， 所以 A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除 A；若 a＝－2，则 B＝{x|x≤1}，又 A＝{x| －2≤x≤2}，所以 A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若 a＝2，则 B＝{x|x≤－1}，又 A＝{x| －2≤x≤2}，所以 A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除 C；若 a＝4，则 B＝{x|x≤ －2}，又 A＝{x|－2≤x≤2}，所以 A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意．故选 B. [答案] (1)B (2)B [解题技法] 集合运算中参数问题的求解策略
(1)化简所给集合;(2)用数轴表示所给集合;(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组；(4)解不等式(组)；(5)检验.[提醒】（1)确定不等式解集的端点的大小关系时，需检验能否取“=”；(2)干万不要忘记考虑空集考向3集合的新定义问题[lx=号,meA, neB , 已知集合 A=240,[例4]定义集合的商集运算为D[-—-1, ke 则集合))UB中的元素个数为(）=X2B. 7A. 6C. 8D.9B-fo.,e)UB=【解析］E由题意知，B=(0,1,2)，={0,6·43·2,0.是，1,寸，共有7个元素。[答案] B【解题技法】集合新定义问题的求解思路（1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件。[跟踪训练]1.(2021·全国就一考试模拟演练)已知M，N均为R的子集，且LrMCN，则MU(CrM)=()A. 0B. MC. ND. R解析：选B根据题意画出Venn图，因为M，N均为R的子集，且LMCN，所以CR(M)N二M,MU(LRM)=M,故选B2 (2021·成部市诊断性检测)已知集合 A={-1,0,m),B=(1,2).若AUB=(-1,0,1,2),则实数m的值为(B.0或1A.-1或0第10页共69页
第 10 页 共 69 页 (1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)； (4)解不等式(组)；(5)检验． [提醒] (1)确定不等式解集的端点的大小关系时，需检验能否取“＝”；(2)千万不要忘 记考虑空集． 考向 3 集合的新定义问题 [例 4] 定义集合的商集运算为A B ＝ x x＝ m n ，m∈A，n∈B ，已知集合 A＝{2,4,6}， B＝ x x＝ k 2 －1，k∈A ，则集合 B A ∪B 中的元素个数为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 [ 解 析 ] 由题意知， B ＝ {0,1,2} ， B A ＝ 0， 1 6 ， 1 4 ， 1 3 ， 1 2 ，1 ， 则 B A ∪ B ＝ 0， 1 6 ， 1 4 ， 1 3 ， 1 2 ，1，2 ，共有 7 个元素． [答案] B [解题技法] 集合新定义问题的求解思路 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能 够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发 现可以使用集合性质的一些条件． [跟踪训练] 1．(2021·全国统一考试模拟演练)已知 M，N 均为 R 的子集，且∁RM⊆N，则 M∪(∁RN) ＝( ) A．∅ B．M C．N D．R 解析：选 B 根据题意画出 Venn 图，因为 M，N 均为 R 的子集，且∁RM⊆N，所以∁RN ⊆M，M∪(∁RN)＝M，故选 B. 2．(2021·成都市诊断性检测)已知集合 A＝{－1,0，m}，B＝{1,2}．若 A∪B＝{－1,0,1,2}， 则实数 m 的值为( ) A．－1 或 0 B．0 或 1