第一讲不等式和绝对值不等式 第一坪 里BB里国B日 当向量a,b共线时,有怎样的结论? 一般地,我们有 a+b≤a|+|b 为了更好地理解定理1,我们再从代数推理的角度给出它的证明 证明:当ab≥0时,ab=ab,所以 a+b|=√(a+b) =√a2+2ab+b2 /a2+2|ab|+b12 √(a+b1)2 =la+Ibl 当ab<0时,ab=-|ab|,所以 a+b=√(a+b) =√a2+2ab+b =√a-2ab|+b|2 <√a+2ab|+b √a2+2ab+「 b12 =√(a+|b)2 lal+lbl. 所以 a+b≤|a+|b1, 当且仅当ab≥0时,等号成立 操 目里日,图目目日日日 你能根据定理1的研究思路,探究一下a|,|b|,la+bl,|a-b等之间的其他关 系吗?例如,|a|-|b与la+b,lal+|bl与|a-b,lal-|b与|a-b|等之间的 关系 事实上,我们可以得出许多正确的结论.例如: 如果a,b是实数,那么 13
CHAPTER 通高中课程标准买短歉科书数学(选修45)不等式选讲 a-1b≤a一b≤a|+1b 以上我们讨论了关于两个实数的绝对值不等式,这是最基本、最重要的绝对值不等式 根据这样的思想方法,我们可以讨论涉及多个实数的绝对值不等式问题,例如,我们有 定理2如果a,b,c是实数,那么 a-c≤a-b+|b-c 当且仅当(a-b)(-c)≥0时,等号成立 分析:由于a-c,a-b与b-c都是实数,且a-c=(a-b)+(b-c),因而定理2中不 等式的形式与定理1的形式一致,所以考虑利用定理1来证明定理2 证明:根据定理1,有 la-cl=l(a-b)+(b-c)sla-bl-+lb-cl 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立 操密 你能给出定理2的几何解释吗? 如图1.2-5,在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间 时,|a-c=ab+|b-c. 图1.2-6给出了当点B不在点A,C之间时的一种情形.请同学们自己给出其他情形 时定理2的几何解释 5" 图L.2-5 图1.26 例1已知e>0,|x-a|<e,|y-b1<∈,求证 2x+3y-2a-3<5 证明:12x+3y-2a-3b =(22a)(3y-3) ≤|2(x-a)1+|3(y-b) =2|x-a1+31y-b <2e+3=5E, 所以 2x+3y-2a-3 114