CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学(选修45)不等式选讲 =38000+4000x24400000 (2)由基本不等式可知, 400000 1000x2+ ≥240002×40000=80000 所以 S≥38000+80000=118000 当i且仅当 1000x=400 即x=√10≈3.16时,等号成立 由上可知,当AD约为3.16米时,休闲场所总造价S取最小值118000元 3.三个正数的算术几何平均不等式 基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系,这个不等式 能否推广呢?例如,对于3个正数,会有怎样的不等式成立? 类比基本不等式的形式,我们猜想,对于3个正数a,b,c,可能有:如果ab,c∈ R,那么“十b≥a,当且仅当a=b=c时,等号成立 如何证明这个猜想呢?仍然类比基本不等式的推出过程,我们先证明: 已知a,b,c∈R,那么a+b2+c3≥3abc,当且仅当a=b=c时,等号成立 证明:因为 2+/+o-3abc (a +b)-3ub-3altc-3abc (1)(x+y)2 =(a+b)4+c2-3a3b-3ab2-3abc x2+32y+ =(a+b+c[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c) yty (2)x2+y2 (a +h+)La+2ab+l-ac-hc+e-3abj =(x+y)(x2 =(++)(a'+b+c-ab-bc-ca ry+y). (a+b+c)x[(a-b2+(b-c)2+(c-a)1≥0, 所以 a2+b2+c2≥3abe, 当且仅当a=b=c时,等号成立. 对上述结果作简单的恒等变形,就可以得到
第一讲不等式和绝对值不等式 第一持 定理3如果a,b,c∈R.,那么+b+C≥ab,当且仅当a=b=c时,等号成立 这个不等式可以表述为:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均 事实上,基本不等式可以推广到一般的情形:对于n个正数a1,an,…,an它们的 算术平均不小于它们的几何平均,即 a1+a+…+a≥a1a…an, 当且仅当a1=a2=…=a。时,等号成立 例5已知x,y,x∈R,求证(x+y+z)2≥27xy= 证明:因为+2+多≥yxy=>0,所以 (x+y+) 即 (x+y+z)2≥27xyz 例6如图1.1-5,把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大 小相同的小正方形,再把它的边沿着虚线折转做成一个无盖方底的盒 子,问切去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积最大? 解:设切去的正方形边长为x,无盖方底盒子的容积为V,则 =(a-2x)2x (a-2x)(a-2x)×4x 图1.1-5 (a-2x)+(a-2x)+4 3 当且仅当a-2x=a-2x=4x,即当x=时,不等式取等号,此时V取最大值,即当 切去的小正方形边长是原来正方形边长的云时,盒子的容积最大 习题 1.判断下列各命题的真假,并说明理由 (1)如果a>b,那么ac>bc; (2)如果a>b,那么ac>bc; (3)如果a>b,那么a”>°(n∈N+); (4)如果a>b,c<d,那么a-c>b-d. 2.比较(x+1)(x+2)与(x-3)(x+6)的大小 19晶
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学(选修45)不等式选讲 3.求证 (1)如果a>b,ab>0,那么 (2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd. 如果a>b,c>d,是否一定能得出ac>bl?并说明理由 5.设a,b∈R,且a≠b.求证 a t b (2 2a a+b√ab 6.设a,b,c是不全相等的正数,求证 (1)(a+b)(b+c)(c+a)>8abc; (2)a+b+c>√ab+√be+√ca 7.求证a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da 8.已知a+a+…+a2=1,x+x+…+x=1,求证 a1x1+a2x2+…+anxn≤1 9.已知x,y∈R,求证 10.求证x2+2≥2 √x2+1 11.已知a,b,c∈R,a+b+c=1,求证 b2+c2≥ 12.已知a,b,c∈R,,求证 b (1)(+2+ b +)≥9 (2)(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc R 13.在对角线有相同长度的所有矩形中,怎样的矩形周长最长,怎 样的矩形面积最大? 11.已知球的半径为R,球内接圆柱的底面半径为r,高为h,则 (第1题 r和h为何值时,内接圆柱的体积最大? 15.已知a>0,b>0,且h=mina, b +b2 求证 0minA表 云数集A中最 h≤ 小数
第一讲不等式和组对值不等式 第一 二绝对值不等式 从不等式的背景可以看到,许多不等关系都涉及到距离的长短,面积或体积的大小 重量的大小,等等,它们都要通过非负数来表示,因此,研究含有绝对值的不等式具有重 要意义 1.绝对值三角不等式 我们知道,实数a的绝对值|a有明确的几何意义,它表示数轴上坐标为a的点A到 原点的距离(图1.2-1(1) 图1.21(1) 图1.2-1(2) 对于任意两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别为A,B,那么a一b1的几何 意义是数轴上A,B两点之间的距离,即线段AB的长度(图1.2-1(2)). 绝对值的几何意义是我们认识绝对值不等式的重要工具.实际上,我们可把“距离大 小”作为研究绝对值不等式的基本出发点,解决相应的问题 类比不等式基本性质的得出过程,你认为可以怎样提出关于绝对值不等 式性质的猜想? 我们仍然可以从“运算”的角度考察绝对值不等式.例如,对于实数a.b.可以考察 a,|b1,|a+b,|a-b1等之间的关系,在研究过程中应特别注意利用绝对值的几何 意义, 下面研究a},|b,{a+b之间的关系 用恰当的方法在数轴上把a,|b,|a+b表示出来,你能发现它们之间的什么 关系? 我们先分ab>0和ab<0两种情况讨论 11
CHAPTER 游通高中课程标准实验教科书数学(选修45)不等式远讲 当db>0时,如图1.2-2,容易得到 latb=la+ibl. h c+ 图1.2-2 当ab<0时,又可以分a>0,b<0和a<0,b>0两种情况.如果a>0,b<0,如图 1.2-3(1),坐标为a的点在原点的右边,坐标为b的点在原点的左边.可以发现: a+b<{a+|b. h ath a+h h 图1.23(1) 图 12-3(2) 同理,当a<0,b>0时,如图1.2-3(2),也有 a+b<al+bl 如果ab=0,则a=0或b=0,容易看出: la+h=lal+Ibl. 综上所述,可以得到: 定理1如果a,b是实数,则 a+bl≤|a|+1b, 当且仅当d≥0时,等号成立 如果把定理1中的实数a,b分别换为向量a,b,能得出什么结果?你能解释它 的几何意义吗? 在上面的不等式中,用向量a,b分别替换实数a, b.当向量a,b不共线时,那么由向量加法的三角形法 则.向量a+b,a,b构成三角形,因此我们有向量形式 的不等式 a+b<|a+|b. 它的儿何意义就是三角形的两边之和大于第三边 (图1.2-4) 山于定理1与三角形之间的这种联系,我们称其中的 不等式为绝对值三角不等式, 图1.2-4 112