如果满足 Laplace变换存在条件的函数∫() 复变数与 在t=0处有界时,积分 L I(I=/()e"dt 的下限取0或0不影响其结果如果在t=0处 变包含单位脉冲函数8(),积分理解为广义函数下 换的积分时,取0与0是不同的因为 +0o L∫()=f(ledt, L_1f(I= f(e"dt= f()e""dt+L, f(OI
包含单位脉冲函数d (t), 积分理解为广义函数下 如果满足Laplace变换存在条件的函数 f (t) 在 t 0处有界时，积分 0 [ ( )] ( ) d st f t f t e t L 的下限取 0 或 0 不影响其结果. 如果在 t 0处 的积分时，取 0 与0 是不同的. 因为 0 [ ( )] ( ) d , st f t f t e t L 0 0 0 [ ( )] ( ) d ( ) d [ ( )]. st st f t f t e t f t e t f t L L
复 如果∫(t)在t=0附近有界或在通常意义下 变 可积时,(m=0,即LU()=LJ(0 数 与 如果在t=0处包含了单位脉冲函数时,则 积 安/JJ(e"d≠0,即LDf(O)≠L,/( 换 因此把t≥0上定义的函数延拓到t<0上, 并且把 Laplace变换定义为 LU(=Lf()-「m(d
如果 f (t)在 t 0附近有界或在通常意义下 如果在 t 0 处包含了单位脉冲函数时, 则 0 0 ( ) d 0, st f t e t 即 [ f (t)] [ f (t)]. L L 因此把 t 0上定义的函数延拓到 t 0 上, 0 0 ( ) d 0, st f t e t 即 [ f (t)] [ f (t)]; 可积时， L L 并且把Laplace变换定义为 0 [ ( )] [ ( )] ( ) d . st f t f t f t e t L L
例86求单位脉冲函数6(t)的 Laplace变换 复变函数与积兮变换 解因为 6(t)∫()dt=f(0) 所以 L|()=L|(t) -oO s(test 0 +oO δ(t)edt=1
例8.6 求单位脉冲函数 d (t)的Laplace变换. 解 因为 d (t) f (t)dt f (0), [d (t)] [d (t)] L L 0 ( ) d st d t e t ( ) d 1. st d t e t 所以
例87求∫(t)=e6(t)-Beu(t)(B>0) 复变函数与积兮变换 画的 Laplace变换(其中u()为单位阶跃函数 解由 Laplace变换的定义,当Res>-B时, L I(O1=j C+00 -B 8( -Repu(t)le-stdt +aO +0 6(t)e (s+B)t (Stpt dt 0 e B+s)t S 1+B B S+B s+B
例8.7 求 ( ) ( ) ( ) ( 0) t t f t e t e u t d 的Laplace变换(其中 u(t)为单位阶跃函数). 0 [ ( )] ( ) ( ) d t t st f t e t e u t e t d L ( ) ( ) 0 0 ( ) d d s t s t t e t e t d ( ) 0 1 1 . s t e s s s s 由Laplace变换的定义，当Re s 时
复 变 §8.2 Laplace变换的性质 蟲1线性性质 2微分性质 与 利3像函数的微分性质4积分性质 变5像函数的积分性质6位移性质 换7延迟性质 8相似性质 9初值和终值定理10卷积定理
1 线性性质 3 像函数的微分性质 5 像函数的积分性质 6 位移性质 2 微分性质 4 积分性质 7 延迟性质 9 初值和终值定理 10 卷积定理 8 相似性质 §8.2 Laplace变换的性质