东北大学：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第八章 Laplace变换

复 以下假定所考虑的 Laplace变换的像原函数 都满足存在定理的条件 刻(1)线性性质设B是常数,F1(s)=LLf(Ol, 与积分变换 F2(s)=LLf2(t),则 Lla(t)+Bf2(t=aF(s)+BF2(s) aL I()l+BL [,(t)I, LaF(s)+BF(s=aL IF(s)l+BLIF,(s) 由 Laplace变换的定义及积分的线性性质可证

以下假定所考虑的 Laplace 变换的像原函数 都满足存在定理的条件. (1) 线性性质 设,  是常数， 1 1 F (s)  L [ f (t)], 2 2 F (s)  L [ f (t)], 则 1 2 1 2 L [ f (t)   f (t)]  F (s)  F (s) 1 2  L [ f (t)] L [ f (t)], 1 1 1 1 2 1 2 [F (s)  F (s)]  [F (s)]  [F (s)].    L   L  L 由Laplace变换的定义及积分的线性性质可证

复(2)微分性质设F()=LIf(),则 变 L["()=sF(s)-∫(0) 数 5证明根据 laplace换的定义和分部积分公式 积分变换 L I(]=f(t)"sdt Jo =f(re-s+slf(t)edt 0 sL[∫(t)]-f(0) sF(s-f(0)(Res>so)

(2) 微分性质 设 F(s)  L [ f (t)], 则 L [ f (t)]  sF(s)  f (0). 证明 根据Laplace变换的定义和分部积分公式 0 [ ( )] ( ) d st f t f t e t       L 0 0 ( ) ( ) d st st f t e s f t e t         sL [ f (t)] f (0) 0  sF(s)  f (0) (Re s  s )

推论对正整数m,有 复变函数与积分变一 L[f()=s"F(s)-s"f(0)-…-fm(0) 与特别地,当f(0)=/(0)=…=”0)=0时, (n) ()]=s"F(s) 换在这个性质中,要求f()存在且满足 Laplace 变换存在定理的条件(1≤k≤n) (证明)

推论 对正整数n, 有 ( ) 1 ( 1) [ ( )] ( ) (0) (0). n n n n f t s F s s f f   L    特别地，当 ( 1) (0) (0) (0) 0 n f f f       时， ( ) [ ( )] ( ). n n L f t  s F s 在这个性质中，要求 ( )( ) k f t 存在且满足Laplace 变换存在定理的条件 (1  k  n). ( )

例88求f(t)=c0sat的 Laplace变换 复变函数与积分变换 解因为参见例8.3,与这里方法不同 f(0)=1,f(0)=0,f"()=-o2 cos ot, 根据微分性质和线性性质 L[Q cos a=sL cos at]-sf(0)-f(O), QL cos at=s'L Icos at-S, 所以L[ cos at S s+0 使用同样方法,可得L| sin at] s+0

2 2 L [ cost]  s L [cost] sf(0)  f (0), 例8.8 求 f (t)  cost 的Laplace变换. 解 因为 2 f (0)  1, f (0)  0, f (t)   cost, 2 2  L [cost]  s L [cost] s, 所以 2 2 [cos ] . s t s     L 使用同样方法，可得 2 2 [sin t] . s      L 参见例8.3, 与这里方法不同 根据 和线性性质

复变函数与积兮变换 例89求f(1)=t2+ sin at的 Laplace变换 解根据线性性质与例8.8及例8.4 Lt+sin at L t+l isin at 2!

例8.9 求 2 f (t)  t  sint 的Laplace变换. 解 根据线性性质与 2 L [t  sint] 2  L [t ] L [sint] 3 2 2 2! . s s     