例83求∫(t)= sino的 Laplace变换 复变函数与积兮变换 解因为f()≤1e,故在Res>0上, aplace变换存在,且 e Jo e s"sinotdt =f +ml-s sin ot -acos ot o 0s 2 于是L| sin at O2 (Res> S 类似可得L| cos at=-2 2(ReS>0)
例8.3 求 f (t) sint 的Laplace变换. Laplace变换存在，且 2 2 0 0 sin d [ sin cos ] st st e e t t s t t s 2 2 , s 于是 2 2 [sin t] (Re s 0). s L 类似可得 2 2 [cos ] (Re 0). s t s s L 因为 0 f (t) 1 e , 故在 Re s 0 上
例84求∫(1)=t(a>-1)的 Laplace变换 复变函数与积分变一 解如果αl是正整数m,则由分部积分法,易 求得 m! m+1 (Res>0). 当a>-1不是正整数时,利用复变函数论的 换方法,可求出 +T(a+1)(Res>0), 其中r(a+1=-mx2cdx是函数
例8.4 求 f (t) t ( 1) 的Laplace变换. 解 如果是正整数 m, 则由分部积分法, 易 求得 1 ! (Re 0). m m m t s s L 方法, 可求出 当 1不是正整数时, 利用复变函数论的 1 1 [t ] ( 1) (Re s 0), s L 其中 0 ( 1) d x x e x 是函数
复8.1.2周期函数和δ函数的 Laplace变换 变 设∫(t)是以T为周期的函数,即 数 与 f∫(t+T)=∫(t)(t>0 积且在一个周期内分段连续,则 +oO (k+1) 变 L[∫(t) f(te dt 0 ∑ ∫(t)esdt. 人T 换 k=0 令 t=T+kt z∈|0,T),则 (k+1)T f(t)e stdt= f(t+kT)e
设 f (t)是以T 为周期的函数, 即 f (t T) f (t) (t 0), 且在一个周期内分段连续，则 ( 1) 0 0 [ ( )] ( ) d ( ) d . k T st st kT k f t f t e t f t e t L 令 t kT, [0, T), 则 ( 1) ( ) 0 ( ) d ( ) d , k T T st s kT kT f t e t f kT e 8.1.2 周期函数和d 函数的Laplace变换
(k+1)T f(lc"dr=e∫f(a)ed T 复变函数与积兮变换 而当Res>0时,e型k<1,所以 ∑ (k+1)T KT f()e"d=∑cJmf)e" k=0 k=0 T 1-P ST Jo f(e dt, 于是 L[f()= f(te dt. 0 这就是周期函数的 Laplace变换公式
( 1) 0 ( ) d ( ) d . k T T st kTs s kT f t e t e f e 而当 Re s 0 时， 1, Ts e 所以 ( 1) 0 0 0 ( ) d ( ) d k T T st kTs st kT k k f t e t e f t e t 0 1 ( ) d , 1 T st sT f t e t e 于是 0 1 [ ( )] ( ) d . 1 T st sT f t f t e t e L 这就是周期函数的Laplace变换公式
复 例85求全波整流函数tf 变 副f()=n的apae变换 数 解f()的周期T=z,d 元 2兀 与 利所以由周期函数的 Laplace变换公式 变 L If(t)I e s sin tdt e 换 兀 e -s (sint-cost) s2+1 e 兀s cth s2+1 2 e +12
例8.5 求全波整流函数 f (t) sint 的Laplace变换. 0 1 [ ( )] sin d 1 st s f t e t t e L 2 0 1 ( sin cos ) 1 1 st s e t t e s 2 2 1 1 1 cth . 1 1 1 2 s s e s e s s 所以由 f (t)的周期 T , t f (t) o 2