复 例8.2求指数函数∫(t)=e“(其中a是实数) 的La aplace变换 数 解根据 Laplace变换的定义 与 积F(S)=Lf()=Le“1=e"e"dt=。e(m"d, 变这个积分当Rea时收敛,且 换 o e-(s-a)t dt s-a 所以 L e=res>a) S-〖
例8.2 求指数函数 ( ) at f t e (其中a是实数) 的Laplace变换. ( ) 0 0 ( ) [ ( )] [ ] d d , at at st s a t F s f t e e e t e t L L 这个积分当 Re s a 时收敛，且 ( ) 0 1 d , s a t e t s a 所以 1 [ ] (Re ). at e s a s a L 根据Laplace变换的定义
复 Laplace变换存在定理 变 定理81设函数f(t)在t≥0的任何有限区间 数内分段连续,并且当t→+时,f(的增长速度不 5超过某一指数函数,即存在常数M>0和S>0 积分变换 使得在[0,+∞)上, f()≤MeM 则在半平面Res>s上,LIf(o)存在,且 F()=L[f() 是s的解析函数,其中S称为∫()的增长指数
内分段连续, 并且当 t 时, f (t)的增长速度不 超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 0 s 0, 使得在[0,)上， 定理8.1 设函数 f (t) 在 t 0 的任何有限区间 0 ( ) , s t f t Me 则在半平面 R 0 e s s 上，L [ f (t)] 存在, 且 F(s) L [ f (t)] 是s的解析函数, 其中 0 s 称为 f (t)的增长指数. Laplace变换存在定理
证明对任何Res>S内的点s,Res=B>S0, 复变函数与积分变一 画故F 绝对收敛,即 0 ∫()e"|dt Mepeo dt 0 ≤M[e(B-)dt= 0 B-S 所以在Res>上,f(0的Lpe换存在 可以证明F(S)是Res>s0上的解析函数,且 F(s)=。(-)f()e“dr 0
证明 对任何 R 0 e s s 内的点s, R 0 e s s , 故 绝对收敛，即 0 ( ) ( ) d st F s f t e t 0 0 0 ( ) d d st t s t f t e t Me e t 0 ( ) 0 0 d . s t M M e t s 所以在 R 0 e s s 上，f (t)的Laplace变换存在. 可以证明 R 0 F(s)是 e s s 上的解析函数, 且 0 ( ) ( ) ( ) d . st F s t f t e t
类似于幂级数中Abe定理,有下面定理. 复变函数与积分变一 定理82如果「。∫()e在s1=A1+io 与处收敛,则这个积分在Rs>B上处处收敛,且 由这个积分确定的函数F(s)在Res>B上解析; 换如果「。f()l"在s2=B2+im2处发散,则这个 积分在Res<B2上处处发散
定理8.2 如果 0 ( ) d st f t e t 在 1 1 1 s i 处收敛，则这个积分在 R 1 e s 上处处收敛, 且 由这个积分确定的函数F(s)在 R 1 e s 上解析； 如果 0 ( ) d st f t e t 在 2 2 2 s i 处发散, 则这个 积分在 R 2 e s 上处处发散. 类似于幂级数中 ，有下面定理
复变函 根据定理82,存在实数σ(或是±a)使得在 Q Res>o上,积分」。∫f()e-"d收敛,而在ResS<a 与 积 上,积分f()c.处处发散在收敛区域上, 变 Laplace变换的像函数 虚轴 换F(s)=Lf()是s的解 析函数 实轴
根据定理8.2，存在实数s (或是)使得在 Re s s上, 积分 0 ( ) d st f t e t 收敛, 而在Re s s 上，积分 0 ( ) d st f t e t 处处发散. 在收敛区域上， Laplace变换的像函数 F(s) L [ f (t)]是s的解 析函数. O 实轴 虚轴 s