复的 Fourier变换可能有意义f()的 Fourier变换 变可表示为 数与积分变 f(t) e o dt=.f(t)e (B+io)t 将B+io记为s,可写成 ∫n ∫(t)es"d 换这就是本章要讨论的 Laplace变换,它放宽了对函 数的限制并使之更适合工程实际,并且仍然保留 Fourier变换中许多好的性质,更实用、更方便
的Fourier变换可能有意义. 1f (t)的Fourier变换 可表示为 ( ) 0 0 ( ) d ( ) d . t i t i t f t e e t f t e t 将 i 记为s, 可写成 0 ( ) ( ) d . st F s f t e t 这就是本章要讨论的Laplace变换, 它放宽了对函 数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留 Fourier变换中许多好的性质, 更实用、更方便
复变函数与积兮变换 §8.1 Laplace变换的概念 1 Laplace变换的定义 2周期函数和δ函数的 Laplace变换
1 Laplace变换的定义 2 周期函数和d 函数的Laplace变换 §8.1 Laplace变换的概念
8.1.1 Laplace变换的定义 复变函数与积兮变换 定义81设f(1)在t≥0上有定义,并且积分 F(s)= f(t)e"dt(s是复参变量)关于某一范围 s收敛,则由这个积分确定的函数 F(s)=f(oe sdt, 称为函数∫()的 Laplace变换,并记做LIf(o),即 L I(t]=F(s)=f(t)e stdt
定义8.1 设 f (t)在 t 0上有定义, 并且积分 0 ( ) ( ) d st F s f t e t (s是复参变量)关于某一范围 s 收敛，则由这个积分确定的函数 0 ( ) ( ) d , st F s f t e t 称为函数 f (t) 的Laplace变换, 并记做L [ f (t)],即 0 [ ( )] ( ) ( ) d . st f t F s f t e t L 8.1.1 Laplace变换的定义
F(S)称为∫(t)的像函数,f(t)称为F() 复变函数与积分变一 的像原函数 已知F(s)是∫(n)的 Laplace变换,则记 f(t=L-F(s) 换并称∫(0)为F(的 Laplace变换
F(s)称为 f (t) 的像函数，f (t) 称为 F(s) 的像原函数. 已知 F(s)是 f (t) 的Laplace变换，则记 1 f (t) [F(s)], L 并称 f (t)为F(s)的Laplace逆变换
例81求单位阶跃函数 复变函数与积兮变换 t>0 u(t)= 0,t<0 与的 Laplace变换 解根据 Laplace变换的定义,当Res>0时, + OO L[() e dt 因为在 Laplace变换中不必考虑t<0时的情况, 所以经常记作L[
0 0 1 1 [ ( )] d . st st u t e t e s s L 因为在Laplace变换中不必考虑 t 0 时的情况， 所以经常记作 1 [1] . s L 例8.1 求单位阶跃函数 1, 0 ( ) 0, 0 t u t t 的Laplace变换. 根据Laplace变换的定义，当 Re s 0 时