常数项级数举例 1+3+5+…+(2n-1)+…=∑(2n-1) ×c ∴十 3 n+1 +…=∑ n+1 oo 1+-+—+… 十 33 3 3 1-1+1-1+…+(-1)”+…c∑(-) =1 (-1) oo n-1 1--+ +…=∑ (-1) 23 ns
常数项级数举例 1 3 5 (2 1) + + + + − + n 1 1 1 2 3 1 n + + + + + 2 1 1 1 1 1 3 3 3n− + + + + + 1− 1+ 1− 1++ (−1) n−1 + 1 1 1 ( 1) 1 2 3 n n − − − + − + + 1 (2 1) n n = = − 1 1 n n 1 = = + 1 1 1 3 n n − = = 1 1 ( 1)n n − = = − 1 1 ( 1)n n n − = − =
级数的部分和 s =utu+.+u ∑u 部分和数列{sn} S1=l1,S2=1+2,S3=l1+2+l3, Sn=1+l2+…+n ∴ 2 22 2
= = + + + = n i n u u un ui s 1 1 2 级数的部分和 , 1 u1 s = , 2 u1 u2 s = + 3 1 2 3 s u u u = + + , 1 2 , n n s u u u = + + + 部分和数列 { }n s 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 n n s = + + + +
2.级数的收敛与发散: 定义如果∑n的部分和数列Sn有极限S, 即 lim s=S,则称无穷级数∑n收敛, n=1 这时极限S叫做级数的和并写成 S=W1+u2+…+l3+… 如果Sn没有极限则称无穷级数Σun发散 ● n=1 常数项级数收敛(发散)<lims存在(不存在) n→0
2. 级数的收敛与发散: n s n=1 如果 没有极限,则称无穷级数 un 发散. s = u1 + u2 ++ u3 + lim n n s s → 即 = ， 定义 n=1 un n 如果 的部分和数列 s 有极限 s, n=1 则称无穷级数 un 收敛, 常数项级数收敛(发散) 这时极限 s 叫做级数的和.并写成 n n s → lim 存在(不存在)
常数项级数收敛(发散)令lims存在(不存在) n→0 n+1 111 引例中 一++ 3 2222 2 n 2 o nImS=1,故∑(2)收敛和为1 2 = 又例如1.∑(2n-1)=1+3+5+…发散 nE (1+2n-1)=n2->∞ 1,n为奇数时, 2∑ sn极限不存在 H-=1 0,n为偶数时, 故级数发散
常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在) 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 n n s = + + + + 1 1 ( ) 2 n n = 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 1 − − = n+ lim 1, n n s → = 引例中 1 1. (2 1) 1 3 5 n n = − = + + + 1 1 2. ( 1)n n − = − 收敛,和为1. 发散. 2 (1 2 1) 2 n n n s n = + − = → 故级数发散. sn极限不存在, 故 又例如 1, 0, n n s n = 为奇数时， 为偶数时
例1讨论等比级数(几何级数) ∑my"=a+aq+ag2+…+ay+…a≠0) =0 的收敛性 解如果q≠时, Sn=a++aq2+…+ >1 n a-=aq q 3q<1
解 如果q 1时, 2 −1 = + + + + n sn a aq aq aq q a aqn − − = 1 = + + ++ + = n n n aq a aq aq aq 2 0 (a 0) 例1 的收敛性. , 1 , 1 1 q a q q → − 讨论等比级数(几何级数)