例1证明Im(3x-1)=2 证因为∫(x)-A=(3x-1)-2|=3(x-1) 为使对于任意给定的正数E,有3|x-1kE 只要|x-1<,所以对任意>0,可取δ 3 则当适合不等式0<x-1k<8时,对应的函数 值∫(x)就满足不等式 f(x)-AH=(3x-1)-2|E 所以 lim(3x-1)=2 上一页下一页现回
例1 证明 lim(3 1) 2 1 − = → x x 证 因为 为使对于任意给定的正数 ，有 只要 ,所以对任意 ，可取 ， 则当 适合不等式 时，对应的函数 值 就满足不等式 所以 | f (x) − A|=|(3x −1) − 2 |= 3(x −1) 3 | x −1| 3 | 1| x − 0 3 = x 0 | x −1| f (x) | f (x) − A|=|(3x −1) − 2 | lim(3 1) 2 1 − = → x x
例4证明:当x0>0时,imx=√x0 →x r- x- 证这里f(x)-A=x=√x 0 < x+lx 0 任给e>0,要使f(x)-A<8, 只要x-x0<√xnE且不取负值取8=min{xn,√xnE}, 当0<x-x0<8时,就有x-√x0<e 所以lim√x=√xo 上一页下一页现回
lim . 0 0 x x x x = → 所 以 证 0 这里 f ( x ) − A = x − x 任给 0 , min{ , }, 0 0 取 = x x 0 , 当 x − x0 时 0 0 x x x x +− = 要使 f (x) − A , , 0 就有 x − x , 0 0 x x − x . 只要 x − x0 x0 且不取负值 例 4 : 0 , lim . 0 0 0 x x x x x = → 证明 当 时
讨论单侧极限 设∫(x) 2-x,x<9=2 Ix ≥0 zx2+2 验证lmf(x)=2 x→>0 分x>0和x<0两种情况分别讨论 x从左侧无限趋通,函数值无限接近于2 x从右侧无限趋近,函数值无限接近于2 上一页下一页返回
讨论单侧极限 lim ( ) 2. 2, 0 2 , 0 ( ) 0 2 = + − = → f x x x x x f x x 验 证 设 分x 0和x 0两种情况分别讨论 y = 2 − x 2 2 y = x + y o x 2 x从左侧无限趋近0, 函数值无限接近于2. x从右侧无限趋近0, 函数值无限接近于2
左极限VE>0,38>0,使当x0-8<x<x时, 恒有∫(x)-A<E 记作limf(x)=A或f(xo-0)=A 0 右极限VE>0,38>0,使当x<x<x+8时, 恒有∫(x)-A<8 记作lim∫(x)=A或f(x+0)=A x→>x0+0 (x→>x0 注意:{x0<x-x<8} {x0<x-x0<8}{x-8<x-x<0} 上一页下一页返回
左极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x A x x x 恒有 使当 时 右极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − + f x A x x x 恒有 使当 时 { 0 } { 0} :{ 0 } 0 0 0 = − − − − x x x x x x x x x 注 意 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = − = → − → − 记作 或 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = + = → + → + 记作 或