7.1任意角的概念与弧度制7.1.1角的推广1.角的概念的推广在小学和初中，我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点：这两条射线称为角的边，同时我们还知道角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，例如，图7-1-1图7-1-1所示的大小为120的角，用以前的观点来看，既可以认为是OA旋转到OB所形成的：也可以认为是OB旋转到OA所形成的.我们以前所学过的角，大小一般不会超过一个周角（360°）的大小情境与问题如图7-1-2所示，当摩天轮在持续不断地转动时，（1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？（2）如果甲，乙两人分别站在摩天轮的两侧观寨，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同：你能用合适的数学符号表示这种不同吗？从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广鸣？图7-1-2显然，上述情境中，只要时间足够长，摩天轮所转过的角的大小会超过360而且，甲、乙两人所观察到的摩天轮旋转方向相反：如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一人观察到的是顺时针旋转，由于相反意义的量可以用正负数表示，因此不难想到这种不同可以用正负号来区分37.1任意角的概念与孤度制10必修第三册子「普通高中教科书教师教学用书数学（B版）
★本小节内容主要包括角的概念的推广（正角、负角、零角）、象限角的概念、终边相同的角的集合表示，并通过思考完成例题，培养学生应用知识解决相关问题的能力，体会几何法解决问题的直观便捷★教师教学时，可以先让学生复习小学和初中学习的角的概念，再举一个生活实例，如在跳水运动中有“转体二周”（即转体720）、“转体3周”（即转体1080）的动作术语，若用之前的定义无法对720°，1080°进行解释，由此引人本小节的内容。因为所有新知的学习都是建构在学生原有的认知基础上的，无论是复习还是列举实例都是为后面让学生做好认知上的衔接准备。★“情境与问题”的摩天轮实例中设置了两个思考问题，教学中，教师可以借助几何画板GeoGebra等软件演示角变化的动态过程，引导学生思考回答问题，第（1）题引导学生打破以前认识角的思维定式，帮助学生重新认识角：角度可以是540°720，1000°等第（2）题让学生意识到需要对角的概念进行推广：既要知道角的旋转量，又要知道角的旋转方向，才能准确地表示出一个角为了加深学生对角的“旋转量”和“旋转方向”的理解，用正负来区分具有相反意义的量，教学中，教师可以让学生多举实例，了解、认识和研究各种角，从而引导学生感受推广角的概念的必要性和实际意义饭版1第七章三角涵数三
由此就可以将角的概念进行推广：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边，射线的旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上规定，按照逆时针方向旋转面成的角称为正角：按照顺时针方向旋转而成的角称为负角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角，这样定义的角，由于是旋转生成的：所以也常称为转角值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的，因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角，负角、零角，也就是说，角的大小是任意的，由此，我们把角的概念推广到了任意角。作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量，如图7-1-3（1）（2）表示的两个转角中，射线OA绕端点O旋转到OB时：旋转的绝对量都超过了一个周角的大小，按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数，可知α-450°--630%(1)(2)图7-1-3食尝试与发现角的概念推广之后，利用转角给出60°十90与90%-30°的几何意义利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义例如，对于60°90°来说，如图7-1-4（1）所示，射线OA逆时针方向旋转?到OB所形成的角为60°OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为60°+90150°0(1)(2)图7-1-4①均指绕端点O旋转：下同4第七章三角丽数12「普通高中教科书教师教学用书数学（B版）必修第三册子
★把角的概念推广后，得到了正角、负角和零角，在运用知识解决问题时务必强调逆时针旋转角越转越大，顺时针旋转角越转越小，零角是一条射线没做任何旋转形成的角，没有正负，就如实数零没有正负一样正角和负角是用来表示具有相反旋转方向的旋转量角的概念推广到任意角后，应让学生清楚地知道在解决任何一个与角有关的问题时，需要明确角的旋转方向和旋转的绝对量.如教材中图7-1-3，如果图（1）和图（2）都不标明旋转方向，那此时就不知道这两个角是450°，一630°，还是一450°，630°；因为旋转有周期性，如果把图中表示角的绝对量的弧去掉，则呈现在我们面前的就有无穷多个角，这些角是终边相同的角★“尝试与发现”利用旋转成角，引人正角、负角、零角，把角的概念推广后，转角与角的加减法运算对应起来，可以赋予角的加减运算一个几何意义，使数与形紧密地结合起来，利用图形直观感知加减运算中角的终边的位置关系，增强学生数形结合和运用几何直观思考问题的能力，发展学生直观想象的核心素养教材中图7-1-4（2）表示的是90一30°角的减法运算的几何意义，强调运算为两次旋转的合成如果时间容许，还可以让学生作图说明45°一90°的儿何意义角的减法运算也可以转化为角的加法运算，即α一β可以转化为α十（一β），也就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和转角和角的加减运算的几何意义对后面的三角函数学习是非常有帮助的，教学中应予以重视，让学生理解并熟练应用饭1第七章三角涵数11344
类似地，如图7-1-4（2）所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为一30%则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°-30°=60°2.象限角为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合：角的始边落在轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限例如，图7-1-5（1）中的45°一315，405角都是第一象限角：图7-1-5（2）中的126角是第国象限角，210°角是第三象限角，一60°角是第日象限角，一90°角不是象限角，其终边在轴的负半轴上(1)(2)图：7-1-5尝试与发现图7-1-5（1）中三个角的终边相同，那么，终边相同的角有没有一个共同的表示方法呢？一般地，角α+k·360°（kEZ）与角α的终边相同，这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可，任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍。因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S-piβ=a+k.360kez).即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k=0时对应元素为357.1任意角的概念与孤度制14必修第三册子【普通高中教科书：教师教学用书数学（B版）