沈阳师范大学：《抽象代数》课程教学课件（讲稿）第二章 基本概念、第三章 群

一、群的定义3.思考题定义（1）和定义（2）的等价性IIIVaeG，G里至少存在一个单位元e,使得ea=ae=aIVVaeG，G里至少存在一个逆元a，使得αa=aa'=é↑III'VaeG，G里至少存在一个左单位元e,使得ea=aIV'VαeG，G里至少存在一个左逆元a，使得aa=e

一、群的定义 3.思考题 1 1 . . Ⅲ' ， 里至少存在一个 ，使得 ， Ⅳ' ， 里至少存在一个 左单位元 左逆元 ，使得 ， a G G e ea a a G G a a a e         定义（1）和定义（2）的等价性 1 1 1 . . Ⅲ ， 里至少存在一个 ，使得 ， Ⅳ ， 里至少存在一个 ，使得 ， 单位元 逆元 a G G e ea ae a a G G a a a aa e            

一、群的定义2.定义（2)一个非空集合G对一个叫做乘法的代数运算封闭性IG对于这个乘法来说是封闭的，即Va,beG，abeG结合律II.Va，b，cEG，结合律：a(bc)=（ab)c成立；左单位元IIIVaeG，G里至少存在一个左单位元e，使得ea=a左逆元IV'VaeG，G里至少存在一个左逆元a，使得aa=e则称代数系统（G，·）（简记为G）作成一个群若这个乘法还满足交换律，即Va，beG，ab=ba;称G为交换群或Abel群

. . ( ) ( ) 一个非空集合 对一个叫做乘法的代数运算， Ⅰ 对于这个乘法来说是封闭的，即 ， ， ； Ⅱ ， ， ，结合律： 成立； G G a b G ab G a b c G a bc ab c       一、群的定义 2.定义（2） 1 1 . . Ⅲ' 左单位元 Ⅳ' ， 里至少存在一个 ，使得 ， ， 里至少存在一个左逆元 ，使得 ， a G G e ea a a G G a a a e         则称代数系统（G, ）（简记为G）作成一个群. . 若这个乘法还满足交换律，即 ， ， ； 称 为交换群或 群 a b G ab ba G Abel    封闭性 结合律 左单位元 左逆元

单选题设置1分下列代数系统是否构成群？1.集合2Z={2nneZ，Z为整数集，α*b=a-b2.{(1，-1)，×}，“x”为普通乘法.是，是是，不是不是，是不是，不是提交

是，是 是，不是 不是，是 不是，不是 A B C D 提交     2 2 {1 } 下列代数系统是否构成群? 1.集合 ， 为整数集， . 2. ，-1 ， ， “ ”为普通乘法. Z  n n Z Z a b  a  b   单选题 1分

例题集合kz=knnZ,k为非负整数，z为整数集，二元运算a*b=α+b问：集合kz关于运算*是否构成群？

例题 集合  , 为非负整数， 为整数集，二元运算 . 问：集合 关于运算 是否构成群？ kZ kn n Z k Z a b a b kZ      

二、群的基本性质1.消去律（左、右）群G中，Va，b,ceG，若ab=ac,则b=c；若ba=ca,则b=c

二、群的基本性质 1.消去律(左、右) 群G中，a，b，cG，若ab  ac，则b  c ；若ba  ca，则b  c